9.4. Положение максимумов

До сих пор мы исследовали свойства экстремумов нормального процесса используя сечения на определенных (возрастающих) уровнях. Однако, даже если это и дает идеальную информацию о высоте глобального максимума, мы все же не получаем непосредственной информации о том, где именно этот максимум располагается или как он связан с другими, вероятно, более низкими, локальными максимумами.

Максимум любого непрерывного процесса достигается на Однако максимальный уровень может достигаться много или даже бесконечно много раз. Тем не менее в силу непрерывности существует точка, в которой достигает своего максимума на впервые; обозначим ее

Мы сформулируем первый результат относительно в виде леммы, хотя и довольно очевидной.

Лемма является случайной величиной. Для имеет место

Доказательство. Оба утверждения вытекают из равносильности множеств реализаций где второе множество измеримо, поскольку случайные величины.

Распределение с. в. может, как показывают простые примеры (такие, как процесс иметь скачки в точках и Однако для непрерывных процессов общего вида простое условие делает невозможным наличие у этого распределения каких-либо других скачков.

Конкретно, мы будем говорить, что имеет в точке производную по вероятности, если существует такая с. в. что

Ясно, что если имеет производную в среднем квадратичном или с вероятностью единица, то имеет и производную (с тем же значением) по вероятности.

Теорема 9.4.2. Предположим, что имеет производную по вероятности в точке и что распределение этой производной непрерывно в нуле. Тогда

Доказательство. Пусть обозначает производную по вероятности в точке Очевидно,

для всех таких что

Далее, по вероятности при и существует такая последовательность что с вероятностью единица. Рассматривая подпоследовательность последовательности мы можем считать, что вероятностью единица, т. е. на множестве Мы видим, что на т. е. Поэтому

если имеет распределение, непрерывное в нуле.

При обращении к стационарным процессам может возникнуть соблазн предположить, что если процесс стационарный, то имеет равномерное распределение на Это, например, будет так, если равномерно распределено на для (Если А имеет распределение Рэлея и не зависит от то процесс разумеется, является нормальным.)

Если то существует положительная вероятность того, что равно или и не является строго равномерной с. в. Тем не менее распределение все еще остается равномерным в промежутке между и как показывает простое вычисление.

В общем случае, однако, не обязана быть равномерной с. в. в открытом интервале даже если процесс нормальный

и стационарный. В качестве примера рассмотрим независимые с. в. причем равномерны на имеют распределение Рэлея, и положим Тогда стационарный нормальный процесс, и можно видеть (например, построив чертеж), что если то максимум на достигается в интервале Поэтому

и с. в. не может быть равномерной в (

Однако для стационарного нормального процесса распределение с. в. всегда симметрично на отрезке в целом и возможные скачки в точках и равны по величине. Это вытекает из обратимости стационарного нормального процесса в том смысле, что имеет то же самое распределение, что и

Один из методов устранения границ, подобных и состоит в том, чтобы удалить их на бесконечность. Можно задаться вопросом о том, будет ли асимптотически равномерным при Для нормальных процессов это просто вытекает из асимптотической независимости максимумов на непересекающихся интервалах, о чем упоминалось ранее. Мы сформулируем здесь эти результаты как простые следствия из теоремы 9.2.2.

Теорема 9.4.3. Пусть - стационарный нормальный процесс (стандартизованный обычным образом) с и предположим, что при Тогда

Доказательство. В обычных обозначениях если и

где величины заданы соотношениями (8.2.6), то

при Кроме того,

где

При последняя вероятность стремится к

где независимые с. в. с общей ф. р. , и вычисление этой вероятности приводит к искомому значению