5.2. Сходимость превышений высокого уровня к пуассоновскому процессу

В следующей теореме мы рассмотрим сначала превышения уровня процессом не на всей положительной полуоси, а только на единичном интервале ( поскольку при этом можно использовать менее ограничительные предположения и все же получить соответствующие выводы относительно распределений максимума.

Теорема Пусть фиксировано и для стационарной последовательности выполнены условия где удовлетворяет (3.4.2). Положим и пусть точечный процесс на единичном интервале образованный превышениями уровня процессом в этом интервале (т. е. образованный такими

точками для которых Тогда точечный процесс сходится распределению при к пуассоновскому точечному процессу на , имеющему параметр .

(ii) Предположим, что для каждого существует такая последовательность которая удовлетворяет соотношению (3.4.2), и что условия выполняются для всех Тогда для любого фиксированного результат части (i) сохраняет силу при замене единичного интервала всей положительной полуосью, т. е. точечный процесс превышений уровня процессом сходится к пуассоновскому процессу на имеющему параметр

Доказательство. Согласно теореме для доказательства части (i) достаточно показать, что

(b) (здесь мера Лебега) для всех множеств В, имеющих вид Утверждение (а) получается сразу, так как

Чтобы показать справедливость заметим, что для

где Множество содержит целых чисел, где при Поэтому, согласно следствию 3.6.4 с

Далее, пусть где Тогда, обозначая через множество целых чисел легко проверить, что

В силу (5.2.1) первое слагаемое в правой части при сходится к обозначает меру Лебега). С другой стороны, в соответствии с леммой 3.2.2 легко видеть, что модуль разности, стоящей в правой части, не превосходит значения где Но в силу условия (см. (3.2.3)) при так что (b) выполняется. Следовательно, часть (i) теоремы верна.

Заключение (ii) достигается точно таким же доказательством, за исключением того, что здесь мы используем вместо следствия 3.6.4 теорему 3.6.3 с равным (и поэтому удовлетворяющим по предположению условиям где теперь мы можем иметь Соответственно и более не обязаны не превышать единицы.

Интересно отметить, что заключение (i) применимо к любому интервалу единичной длины, так что указанные превышения принимают пуассоновский характер в любом таком интервале. Однако если не сделать предположения (ii), то вполне может случиться, что на всей оси (или на интервале, имеющем длину более единицы) превышения не будут принимать пуассоновского характера.

Следствие 5.2.2. В условиях части (i) теоремы если произвольное борелевское множество, граница которого имеет нулевую меру Лебега то

Совместное распределение любого конечного числа вегичин соответствующих непересекающимся множествам для каждого сходится к произведению соответствующих пуассоновских вероятностей.

Доказательство. Это сразу вытекает из того, что (как указано в приложении) когда

Следует отметить, что полученные результаты, очевидно, легко применимы к стационарным нормальным последовательностям, удовлетворяющим надлежащим условиям на ковариации (например, (4.1.1)).