6.6. Распределение максимума в случае, когда ...

В случае когда задачу о превышениях фиксированного уровня зависимой последовательностью снова можно редуцировать к задаче о превышениях случайного уровня независимой последовательностью. Однако в данном случае случайная составляющая этого уровня «слишком велика», так что в пределе независимая последовательность будет иметь или бесконечно много превышений случайного уровня, или ни одного такого превышения. Поэтому невозможно найти такую нормализацию, которая обеспечивала бы слабую сходимость точечного процесса превышений к нетривиальному пределу, и в связи с этим мы будем исследовать только одномерное распределение максимума. Поскольку вывод общего результата довольно сложен, мы рассмотрим довольно частный случай, который выявляет основную идею результата Миттала и Илвисакера (1975), но позволяет избежать некоторых технических трудностей доказательства.

Прежде всего заметим, что для существует выпуклая последовательность для которой — некоторое целое число, (Это легко увидеть, поскольку последовательность выпукла при и убывает к нулю.) По критерию Пойа является ковариационной последовательностью, и мы можем теперь рассмотреть стационарную нормальную последовательность с нулевым средним и с этим частным типом ковариации. Далее, поскольку последовательность выпукла, для каждого будет выпукла и последовательность так что опять, согласно критерию Пойа, существует нормальная последовательность с нулевым средним и такими ковариациями. Ясно, что имеют то же самое распределение, что и где стандартная нормальная величина, не зависящая от

Если обозначить то распределение с. в. оказывается, таким образом, таким же, как и раскол пределение с. в. Это представление является ключевым для доказательства теоремы 6.6.3, приводимой

ниже. Однако прежде, чем его использовать, мы докажем две леммы. Первая из них — «техническая», уже не раз использовавшегося типа. Здесь (как, например, в теореме обозначают стандартные нормализующие константы.

Лемма 6.6.1. Пусть и без указания на зависимость от Тогда для каждого

Доказательство. Положим где Поскольку убывает с ростом то, как и в доказательстве леммы 4.3.2, мы заключаем, что сумма первых слагаемых стремится к нулю. Остается только доказать, что

Используя находим

Здесь Поскольку

мы получаем границу

Кроме того, для мы имеем и тогда

так что

Вместе с (6.6.3) и (6.6.4) это показывает, что (6.6.2) ограничено сверху величиной

которая стремится к нулю при что и доказывает (6.6.1). Лемма 6.6.2. Для любого

где стандартные нормальные величины с ковариациями определяемыми, как в лемме 6.6.1.

Доказательство. Как и выше, обозначает максимум из стандартных нормальных величин, имеющих постоянную корреляцию между любыми двумя из них. По определению следовательно, согласно следствию 4.2.3,

Далее, в силу определений при и в соответствии с теоремой 1.5.3 отсюда легко следует, что

Чтобы показать, что

найдем верхнюю границу разности

используя неравенство (4.2.5) из следствия 4.2.2. Поскольку последовательность выпуклая, а следовательно, убывающая, имеем для (и поэтому для Мы получаем верхнюю границу

которая, согласно лемме 6.6.1, стремится к нулю, так что

Кроме того, имеет такое же преде тение, как и где и независимы, так что

Используя определение находим, что для больших

Поэтому при

и также Кроме того,

и, поскольку, в силу теоремы 1.5.3 сходится по распределению, отсюда следует, что вероятность в (6.6.7) стремится к нулю, так что из (6.6.6) получаем а это дает (6.6.5), завершая доказательство.

Теорема 6.6.3. Предположим, что стационарная стандартная нормальная последовательность имеет ковариации причем последовательность выпукла и для всех при некотором Тогда

Доказательство. Как отмечалось непосредственно перед леммой имеет то же самое распределение, что и где - стандартная нормальная с. в. Из леммы 6.6.2 теперь просто вытекает, что

при

Разумеется, предположения теоремы 6.6.3 весьма ограничительны. В работе Маккормика и Миттала (1976) был доказан следующий более общий результат. Их доказательство аналогично доказательству приведенной выше теоремы 6.6.3, однако рассуждения намного сложнее.

Теорема 6.6.4. Предположим, что стационарная нормальная последовательность имеет такие ковариации что монотонным образом, и монотонно при больших п. Тогда

В статье Миттала и Илвисакера (1975), в которой указанный результат был доказан впервые при дополнительном предположении о выпуклости показано также, что предельные распределения в теоремах 6.5.1 и 6.6.4 никоим образом не являются единственно возможными. Эти авторы приводят еще один класс предельных распределений, которые могут получаться, когда ковариация убывает нерегулярным образом. Дальнейшие интересные родственные результаты приведены в работе Маккормика (1980b). В частности, там получен двойной экспоненциальный предел для «стьюдентизированного максимума», т. е. для нормированного наблюдаемыми средним и стандартным отклонениями.