Главная > Экстремумы случайных последовательностей и процессов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

6.6. Распределение максимума в случае, когда ...

В случае когда задачу о превышениях фиксированного уровня зависимой последовательностью снова можно редуцировать к задаче о превышениях случайного уровня независимой последовательностью. Однако в данном случае случайная составляющая этого уровня «слишком велика», так что в пределе независимая последовательность будет иметь или бесконечно много превышений случайного уровня, или ни одного такого превышения. Поэтому невозможно найти такую нормализацию, которая обеспечивала бы слабую сходимость точечного процесса превышений к нетривиальному пределу, и в связи с этим мы будем исследовать только одномерное распределение максимума. Поскольку вывод общего результата довольно сложен, мы рассмотрим довольно частный случай, который выявляет основную идею результата Миттала и Илвисакера (1975), но позволяет избежать некоторых технических трудностей доказательства.

Прежде всего заметим, что для существует выпуклая последовательность для которой — некоторое целое число, (Это легко увидеть, поскольку последовательность выпукла при и убывает к нулю.) По критерию Пойа является ковариационной последовательностью, и мы можем теперь рассмотреть стационарную нормальную последовательность с нулевым средним и с этим частным типом ковариации. Далее, поскольку последовательность выпукла, для каждого будет выпукла и последовательность так что опять, согласно критерию Пойа, существует нормальная последовательность с нулевым средним и такими ковариациями. Ясно, что имеют то же самое распределение, что и где стандартная нормальная величина, не зависящая от

Если обозначить то распределение с. в. оказывается, таким образом, таким же, как и раскол пределение с. в. Это представление является ключевым для доказательства теоремы 6.6.3, приводимой

ниже. Однако прежде, чем его использовать, мы докажем две леммы. Первая из них — «техническая», уже не раз использовавшегося типа. Здесь (как, например, в теореме обозначают стандартные нормализующие константы.

Лемма 6.6.1. Пусть и без указания на зависимость от Тогда для каждого

Доказательство. Положим где Поскольку убывает с ростом то, как и в доказательстве леммы 4.3.2, мы заключаем, что сумма первых слагаемых стремится к нулю. Остается только доказать, что

Используя находим

Здесь Поскольку

мы получаем границу

Кроме того, для мы имеем и тогда

так что

Вместе с (6.6.3) и (6.6.4) это показывает, что (6.6.2) ограничено сверху величиной

которая стремится к нулю при что и доказывает (6.6.1). Лемма 6.6.2. Для любого

где стандартные нормальные величины с ковариациями определяемыми, как в лемме 6.6.1.

Доказательство. Как и выше, обозначает максимум из стандартных нормальных величин, имеющих постоянную корреляцию между любыми двумя из них. По определению следовательно, согласно следствию 4.2.3,

Далее, в силу определений при и в соответствии с теоремой 1.5.3 отсюда легко следует, что

Чтобы показать, что

найдем верхнюю границу разности

используя неравенство (4.2.5) из следствия 4.2.2. Поскольку последовательность выпуклая, а следовательно, убывающая, имеем для (и поэтому для Мы получаем верхнюю границу

которая, согласно лемме 6.6.1, стремится к нулю, так что

Кроме того, имеет такое же преде тение, как и где и независимы, так что

Используя определение находим, что для больших

Поэтому при

и также Кроме того,

и, поскольку, в силу теоремы 1.5.3 сходится по распределению, отсюда следует, что вероятность в (6.6.7) стремится к нулю, так что из (6.6.6) получаем а это дает (6.6.5), завершая доказательство.

Теорема 6.6.3. Предположим, что стационарная стандартная нормальная последовательность имеет ковариации причем последовательность выпукла и для всех при некотором Тогда

Доказательство. Как отмечалось непосредственно перед леммой имеет то же самое распределение, что и где - стандартная нормальная с. в. Из леммы 6.6.2 теперь просто вытекает, что

при

Разумеется, предположения теоремы 6.6.3 весьма ограничительны. В работе Маккормика и Миттала (1976) был доказан следующий более общий результат. Их доказательство аналогично доказательству приведенной выше теоремы 6.6.3, однако рассуждения намного сложнее.

Теорема 6.6.4. Предположим, что стационарная нормальная последовательность имеет такие ковариации что монотонным образом, и монотонно при больших п. Тогда

В статье Миттала и Илвисакера (1975), в которой указанный результат был доказан впервые при дополнительном предположении о выпуклости показано также, что предельные распределения в теоремах 6.5.1 и 6.6.4 никоим образом не являются единственно возможными. Эти авторы приводят еще один класс предельных распределений, которые могут получаться, когда ковариация убывает нерегулярным образом. Дальнейшие интересные родственные результаты приведены в работе Маккормика (1980b). В частности, там получен двойной экспоненциальный предел для «стьюдентизированного максимума», т. е. для нормированного наблюдаемыми средним и стандартным отклонениями.

1
Оглавление
email@scask.ru