ЧАСТЬ 1. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМУМОВ

Классическая теория экстремальных значений в основном имеет дело со свойствами распределения максимума

независимых и одинаково распределенных случайных величин при больших значениях п. В части I мы попытались дать достаточно исчерпывающее описание основных результатов классической теории, относящихся к распределениям, используя простейшие из имеющихся доказательств и выделяя те их общие черты, которые ведут к последующим обобщениям на ситуации с наличием зависимости.

В гл. 1 доказываются два основных результата. Первый из них — фундаментальный результат, называемый далее теоремой об экстремальных типах — указывает возможные предельные формы распределения при линейных нормализациях. Точнее говоря, этот основной классический результат утверждает, что если для некоторых последовательностей нормализующих констант случайная величина а имеет невырожденную предельную функцию распределения то эта функция должна иметь одну из трех единственно возможных форм. Соответствующие три «распределения экстремальных значений» были обнаружены Фреше, Фишером и Типпеттом и затем более полно рассмотрены Гнеденко. Здесь мы приводим более поздние варианты доказательств, значительно упрощенные благодаря использованию методов де Хана.

Второй основной результат, приведенный в гл. 1, почти тривиален, если рассматривать его независимо, он дает простое необходимое и достаточное условие, при котором для заданной последовательности постоянных сходится последовательность вероятностей Этот результат играет важную роль не только в указанном случае, но и при наличии зависимости, где он уже никоим образом не столь тривиален, но все еще сохраняет силу при надлежащих условиях. Важность его будет видна в гл. 1 в приводимом там изложении классической теории областей притяжения трех типов экстремальных значений. Теория иллюстрируется несколькими примерами для каждого из возможных предельных типов. Завершается глава кратким обсуждением соответствующих результатов для минимумов.

Глава 2 посвящена аналогичным предельным распределениям для наибольшего значения из где может или быть фиксированным числом или стремится к бесконечности вместе с п. Основное внимание уделяется случаю фиксированного является «порядковойстатистикой экстремумов»), для исследования которого привлекаются свойства асимптотической пуассоновости превышений высоких уровней последовательностью Эти свойства, которые связаны здесь только со сходимостью биномиального распределения к пуассоновскому, вновь предстанут в более интересном и утонченном виде в последующих частях книги. В конце главы приведены довольно эффективные и прозрачные оценки скорости сходимости в соответствующих предельных теоремах.

Наконец, дается теоретическое обоснование для случаев, когда стремится к бесконечности при (включая центральные и промежуточные ранги). Это обсуждение проводится здесь исключительно для полноты изложения и далее развиваться не будет.