9.2. Взаимная независимость максимумов на непересекающихся интервалах

В этом разделе мы без каких-либо дополнительных предположений докажем, что максимумы на непересекающихся интервалах действительно асимптотически независимы, а не только «независимы на диагонали», как в лемме 9.1.1. Чтобы доказать это, мы должны оставить возможность иметь в различных интервалах различные уровни и соответственно различные интенсивности пересечений.

С этой целью, а также для использования в следующем разделе исследуем связь между интенсивностью и высотой и уровня, для которого Если то

или

Однако любой уровень, отличающийся от такого и на будет столь же хорош для теоремы 9.1.2, и часто удобно, как в теореме 8.2.7, использовать уровень, получаемый просто удалением последнего слагаемого в (9.2.1). (Читателю рекомендуется убедиться, в том, что при таком выборе соотношение также выполняется). Если мы положим

то для получим

так что уровни, соответствующие различным интенсивностям (при одной и той же нормировке времени все более сближаются друг с другом и разница между ними имеет порядок . Отметим, что (9.2.3) выполняется для любых удовлетворяющих соотношениям а не только для специального выбора (9.2.2).

Мы докажем полную асимптотическую независимость максимумов на непересекающихся расширяющихся интервалах при выполнении условий (8.1.1) и (8.1.2) или условия (8.2.2) для некоторого и, удовлетворяющего соотношению т. е.

для каждого и некоторого такого, что Заметим, что если другое семейство уровней, такое, что

то просто показать, что разность ограниченна. Поэтому (9.2.4) выполняется и при замене на Кроме того, (9.2.4) выполняется при замене на поскольку тогда

Теорема 9.2.1. Предположим, что удовлетворяет соотношению (8.1.1) и либо условию (8.1.2), либо более слабому условию (9.2.4) для некоторого семейства уровней и, и при такого что Пусть фиксированы и Тогда для любых уровней

при

Доказательство. Мы предположим сначала, что существует такая постоянная что

для всех достаточно больших и всех так что (9.2.4) выполняется при замене и на любое из и на Однако при таком предположении доказательство соотношения (9.2.5)

проводится в той же последовательности, как и в лемме 9.1.1, с соответствующими изменениями для в (9.2.4).

Далее, чтобы избавиться от предположения (9.2.6), введем усеченные уровни следующим образом. Пусть задано и положительные решения уравнений соответственно (эти решения существуют для достаточно больших Положим по определению

Тогда, очевидно,

Ясно, что те же самые границы сохраняются и для

(поскольку доказательство соотношения (9.2.7) не использует зависимости или независимости величин

Поскольку с. в. удовлетворяют (9.2.6) и поскольку

отсюда следует, что

Устремляя здесь к нулю, завершаем доказательство (9.2.5) в общем случае.

Из доказанной теоремы и следствия 8.2.6 немедленно получаем следующий результат.

Теорема 9.2.2. Пусть уровни таковы, что

при и предположим, что удовлетворяет условию (8.1.1) и либо условию (8.1.2), либо более слабому условию (9.2.4) для некоторого семейства уровней такого что Тогда для любых -

где каждое совпадает с одним из