Глава 8. Максимумы дифференцируемых в среднем квадратичном нормальных процессов

В настоящей главе будет изложена теория максимумов дифференцируемых в среднем квадратичном стационарных нормальных процессов, использующая простые условия и приводящая к результатам, аналогичным полученным в гл. 4. Это будет достигнуто на основе свойств пересечений, полученных в предыдущей главе, и даст в результате предельное двойное экспоненциальное распределение для максимума при соответствующей нормализации параметров масштаба и положения, аналогичной нормализации в гл. 4.

Существует много важных нормальных процессов, не являющихся дифференцируемыми (например, процесс Орнштейна— Уленбека), и в гл. 12 мы изложим общую теорию для экстремумов нормальных процессов, включающую и многие недифференцируемые процессы в качестве частных случаев.

По-видимому, полезно рассмотреть регулярный случай отдельно, поскольку доказательства здесь существенно проще благодаря лемме Слепяна, позволяющей провести сравнения с косинус-процессом из разд. 7.4.

8.1. Условия

Всюду в этой главе будем предполагать, что стационарный нормальный процесс с которого спектральный момент существует и конечен. Это равносильно требованию конечности среднего числа пересечений в единицу времени

любого уровня (теорема 7.3.2), а также равносильно тому, что ковариационная функция имеет следующее представление:

В гл. 12 рассматривается более общий класс процессов, имеющих ковариационную функцию вида

где Этот класс содержит регулярные процессы как частный случай в то время как влечет за собой тогда процесс недифференцируем и имеет бесконечное среднее число пересечений.

Как и для нормальных последовательностей введенной в гл. 7), мы получим двойной экспоненциальный предел

при слабом условии

Оно является непрерывным аналогом условия (4.1.1) и будет использовано для вывода варианта леммы 4.3.2 перед началом основного изложения. Еще более слабые условия, соответствующие (4.5.4), будут изучаться в гл. 12. В частности, эти условия охватывают случай изредка упоминаемый в литературе.

В следующей лемме мы будем рассматривать уровень и, который возрастает с ростом периода времени таким образом, что среднее остается постоянным, т. е. остается постоянным произведение где Хехр

Чтобы найти асимптотическое распределение с. в. максимума непрерывного процесса, — удобно аппроксимировать процесс последовательностью получаемой выборкой значений процесса в точках где мы полагаем при и (или, что равносильно, Скорость убывания (как описывается в лемме 8.1.1) будет следствием компромисса между двумя требованиями. С одной стороны, аппроксимирующий процесс должен приближать исходный непрерывный процесс достаточно хорошо, а с другой — точки должны быть удалены друг от друга на достаточное расстояние, чтобы избежать слишком сильной зависимости между последовательными значениями Утверждение о том, что

«некоторое свойство выполняется, если достаточно медленно», следует понимать в том смысле, что существует функция для которой это свойство выполняется, и оно сохраняется для всякой такой функции для которой но при Следующий результат является обещанным непрерывным аналогом леммы 4.3.2.

Лемма 8.1.1. Пусть задано

(i) Если

(ii) Предположим, что выполнены оба соотношения (8.1.1) и (8.1.2). Пусть где фиксировано, а так что и (как легко проверить). Если достаточно медленно при и то

Доказательство, (i) Как и в дискретном случае (см. замечания, предшествующие лемме 4.3.2), если для какого-нибудь то для произвольно большого количества моментов что противоречит условию Поэтому для и поскольку непрерывна и стремится к нулю при то значения должны быть отделены от единицы при откуда следует (i).

(ii) Как и в дискретном случае, выберем постоянную таким образом, чтобы Вводя К как общее обозначение для различных постоянных, получаем

поскольку, как отмечалось, Если у выбрано так, что то последнее выражение мажорируется величиной которая стремится к нулю, если медленнее, чем Поэтому эта сумма стремится к нулю. Записывая

мы видим, что остальная часть суммы не превосходит

Опять, как в дискретном случае, если то при и для мы имеем Поэтому для выполняется что стремится к нулю равномерно по Следовательно, экспоненциальная составляющая обязательно ограничена по Таким образом, достаточно показать, что

Но это выражение не превосходит величины

которая снова стремится к нулю, если достаточно медленно (т. е. медленнее, чем