Главная > Экстремумы случайных последовательностей и процессов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

7.4. Максимумы нормальных процессов

При рассмотрении максимума стационарного нормального процесса мы обнаружим, что такой процесс удобно сравнивать с очень простым нормальным процессом максимум которого вычисляется простым образом с использованием свойств выходов. Более точно, пусть независимые стандартные нормальные с. в. и

где — фиксированная положительная постоянная.

Ясно, что с. в. нормальна и что случайные величины совместно нормальны при любом выборе (Это вытекает наиболее просто из того факта, что величина нормальна при любом выборе Поэтому нормальный процесс и Его ковариационная функция вычисляется непосредственно:

Таким образом, процесс является (как нормальный процесс) строго стационарным.

Обозначим теперь Тогда можно записать в стандартной косинус-форме

Якобиан равен А. Отсюда легко следует, что имеют совместную плотность

показывающую, что независимы, причем А имеет распределение Рэлея с плотностью равномерно

Рис. 7.4.1. Выходы за уровень косинус-процесса

распределено в интервале Поэтому выборочные функции процесса являются косинусоидами, имеющими угловую частоту и независимые случайные амплитуду А и фазу

Распределение максимума для этого процесса может быть получено из геометрических соображений. Однако более поучительно (и проще) использовать свойства выходов.

Лемма 7.4.1. Для косинус-процесса заданного соотношением (7.4.3),

для

Доказательство. Для процесса очевидно, Обозначая через число его выходов за уровень и в интервале имеем

и

Возьмем теперь Тогда если то первый выход за и будет наблюдаться после момента (см. рис. 7.4.1), и поэтому множество пусто, так что

Таким образом, поскольку или 1, то

что равносильно (7.4.4).

Интересен и будет в дальнейшем использован тот факт, что в случае косинус-процесса для фиксированного

(поскольку Как мы увидим, этот предел в действительности имеет место и при гораздо более общих предположениях.

Как указывалось выше, в следующем разделе нам будет желательно сравнивать с рассмотренным частным процессом стационарный нормальный процесс общего вида. Такое сравнение будет производиться на основании следующего простого следствия из нормальной леммы сравнения (см. Слепян (1962)).

Теорема 7.4.2 (лемма Слепяна). Пусть нормальные процессы (обладающие непрерывными выборочными функциями, но не обязательно стационарные). Предположим, что эти процессы стандартизованы, так что пусть их ковариационные функции. Предположим, что для некоторого мы имеем для всех Тогда соответствующие этим процессам максимумы удовлетворяют для всех соотношению

Доказательство. Определим величины связанные с как и в лемме 7.1.1, взяв Тогда с вероятностью единица так что и поэтому при Аналогично Но, как ясно из следствия откуда и вытекает нужный результат.

1
Оглавление
email@scask.ru