7.4. Максимумы нормальных процессов

При рассмотрении максимума стационарного нормального процесса мы обнаружим, что такой процесс удобно сравнивать с очень простым нормальным процессом максимум которого вычисляется простым образом с использованием свойств выходов. Более точно, пусть независимые стандартные нормальные с. в. и

где — фиксированная положительная постоянная.

Ясно, что с. в. нормальна и что случайные величины совместно нормальны при любом выборе (Это вытекает наиболее просто из того факта, что величина нормальна при любом выборе Поэтому нормальный процесс и Его ковариационная функция вычисляется непосредственно:

Таким образом, процесс является (как нормальный процесс) строго стационарным.

Обозначим теперь Тогда можно записать в стандартной косинус-форме

Якобиан равен А. Отсюда легко следует, что имеют совместную плотность

показывающую, что независимы, причем А имеет распределение Рэлея с плотностью равномерно

Рис. 7.4.1. Выходы за уровень косинус-процесса

распределено в интервале Поэтому выборочные функции процесса являются косинусоидами, имеющими угловую частоту и независимые случайные амплитуду А и фазу

Распределение максимума для этого процесса может быть получено из геометрических соображений. Однако более поучительно (и проще) использовать свойства выходов.

Лемма 7.4.1. Для косинус-процесса заданного соотношением (7.4.3),

для

Доказательство. Для процесса очевидно, Обозначая через число его выходов за уровень и в интервале имеем

и

Возьмем теперь Тогда если то первый выход за и будет наблюдаться после момента (см. рис. 7.4.1), и поэтому множество пусто, так что

Таким образом, поскольку или 1, то

что равносильно (7.4.4).

Интересен и будет в дальнейшем использован тот факт, что в случае косинус-процесса для фиксированного

(поскольку Как мы увидим, этот предел в действительности имеет место и при гораздо более общих предположениях.

Как указывалось выше, в следующем разделе нам будет желательно сравнивать с рассмотренным частным процессом стационарный нормальный процесс общего вида. Такое сравнение будет производиться на основании следующего простого следствия из нормальной леммы сравнения (см. Слепян (1962)).

Теорема 7.4.2 (лемма Слепяна). Пусть нормальные процессы (обладающие непрерывными выборочными функциями, но не обязательно стационарные). Предположим, что эти процессы стандартизованы, так что пусть их ковариационные функции. Предположим, что для некоторого мы имеем для всех Тогда соответствующие этим процессам максимумы удовлетворяют для всех соотношению

Доказательство. Определим величины связанные с как и в лемме 7.1.1, взяв Тогда с вероятностью единица так что и поэтому при Аналогично Но, как ясно из следствия откуда и вытекает нужный результат.