12.5. Более слабые условия на бесконечности

Как уже отмечалось, приведенные выше результаты об экстремумах могут также быть обобщены путем ослабления условия (8.1.2), которое описывает поведение корреляции между удаленными точками. Мы будем действовать, как и в дискретном случае (разд. 4.5), следуя Лидбеттеру и др. (1978) и Митталу (1979). Мы, разумеется, не можем ожидать существенного ослабления условия (8.1.2), поскольку оно, очевидно, близко к необходимому.

Пусть произвольная функция и

По аналогии с условиями для дискретного времени мы наложим ограничения на суммарное время, в течение которого значения велики, требуя, чтобы существовала такая невозрастающая функция при что

и некоторая константа для которой

Ясно, что условие при влечет за собой, что пусто, если, например, так что (12.5.2) действительно слабее, чем (8.1.2); относительно примеров см. Миттал (1979). В действительности (12.5.2) слабее также и некоторых других иногда используемых условий. Например, поскольку если убывает, то из следует, что для всех так что (12.5.2) несомненно слабее, чем условие иногда используемое в литературе.

Теорема 12.5.1. Пусть стационарный нормальный процесс с нулевым средним и ковариационной функцией при удовлетворяющей условиям (12.1.1), (12.5.2) и (12.5.3). Пусть так что Тогда

Доказательство. В доказательстве теоремы 12.3.4 условие (8.1.2) было использовано только для того, чтобы доказать (12.3.2).

Поэтому, чтобы доказать теорему, устремим и к при таким образом, чтобы с фиксированным и возьмем таким, чтобы Тогда, как мы увидим, из (12.1.1) и (12.5.1)-(12.5.3) вытекает, что для при

что доказывает теорему.

Пусть и удовлетворяет неравенствам для Расщепим сумму в (12.3.2) на две части значением т. е. на сумму по и сумму по Как и в доказательстве леммы 12.3.1,

если

Что касается остальной части суммы нам нужна граница для числа таких слагаемых, для которых произведение не ограничено малой функцией. Для произвольной функции по аналогии с в (12.5.1) определим

Поскольку удовлетворяет условию Липшица в нуле, она удовлетворяет условию Липшица для всех В действительности если то

для некоторой постоянной С, см. Боас (1967, теорема 1). Мы используем это для получения границы для выражающейся через Пусть у такое же, как и в условии (12.5.2). Возьмем а таким, чтобы Отметим, что мы всегда можем найти такое а и что Покажем, что для всех невозрастающнх функций

если достаточно велико. Поскольку для выполняется неравенство мы видим, что если

таково, что

то

Мы имеем и поэтому

поскольку а Отсюда следует, что для достаточно больших которые вносят вклад в входят в непересекающиеся интервалы длины от до и мы получаем (12.5.4) с

Мы можем теперь продолжить доказательство, расщепляя сумму в соответствии с тем, будет ли или нет. Вспоминая обозначение имеем

(где символ с обозначает дополнение). При больших к применима граница (12.5.4), и поэтому первая составляющая в правой части (12.5.5) при ограничена величиной

поскольку в силу (12.5.3) и

Вторая составляющая в (12.5.5) ограничена величиной

где суммирование производится по всем таким для которых Мы увидим, что ограниченно, при так что Начнем с вводя функцию которая появляется в (12.5.2), и расщепляя сумму соответственно тому, будет ли или нет. Это дает

в силу условия (12.5.2). Поскольку мы можем заключить, что когда при условии что убывает достаточно медленно. Заметим, что если (12.5.2) выполняется для некоторой функции то оно выполняется и для всех функций с более медленным убыванием. Остающийся сомножитель в (12.5.6) равен

Используя тот факт, что находим

Таким образом, и мы доказали, что и вторая составляющая в (12.5.5) стремится к нулю. Это завершает доказательство теоремы.

Замечание 12.5.2. Как и в случае дискретного времени, можно склониться к рассмотрению условия типа того, что

при для некоторых которое в действительности может заменить (12.5.2). Однако (12.5.7) содержит до некоторой степени произвольный шаг квантования и более естественное условие для процесса с непрерывным временем должно было бы ограничивать величину

В то же время в связи с (12.5.7) не ясно, как можно было бы это строго сделать.