14.1. Характеризации распределений экстремальных значений

Здесь мы сформулируем и обсудим некоторые точные условия, при которых распределения экстремальных значений могут появляться в качестве распределений прочности материала, а также представим некоторые иллюстративные примеры.

Предположим, что образец материала, такой, как стекловолокно или стальной стержень, подвергается растяжению и что он разрывается, если натяжение превышает собственную прочность материала. Опытным путем было установлено, что разрывное усилие изменяется от одного образца к другому случайным образом, но его распределение зависит от размера образца довольно регулярным образом.

Пусть случайная прочность образца материала имеющего длину I, и предположим, что этот образец можно разделить, по крайней мере гипотетически, на меньшие куски с произвольными длинами и со (случайными) прочностями соответственно. Мы говорим, что материал стохастически

(i) хрупкий, если ,

(ii) однородный, если маргинальные распределения с. в. зависят только от ,

(iii) несвязанный, если с. в. независимы для всех непересекающихся подразбиений для

Среди этих свойств имеют чисто статистический характер, тогда как (i) зависит от механизма, вызывающего разрушение. Все свойства имеют определенный физический смысл, и всякий конкретный материал может, по крайней мере приближенно, обладать одним или более из этих свойств. Позднее мы обсудим, к чему приводит ослабление отдельных требований, и увидим, сколь глубоко представленная теория может описывать свойства нехрупких, неоднородных и слабо связанных материалов.

Предположим, что материал удовлетворяет условиям и пусть (невырожденная) ф. р. прочности образца длины Тогда

Далее, любая удовлетворяет (14.1.1) для некоторой например для поэтому, чтобы получить простую структуру, мы должны ввести дополнительное ограничение на материал.

Материал называется стохастически

(iv) устойчивым относительно размера, если распределение с. в. имеет один и тот же тип независимо от длины т. е. существуют такие константы что Это специально вводимое понятие, но оно часто используется в таком контексте, поскольку приводит к существенным математическим упрощениям. В отличие от свойств (i)-(iii) оно не имеет строгого физического смысла, однако иногда оправдывается тем интуитивно привлекательным соображением, что наиболее простая модель является также и наиболее реалистической в физическом смысле.

Для устойчивого относительно размера материала

где так что в соответствии с (14.1.1)

Таким образом, устойчива относительно минимума, и, следовательно, по теореме 1.8.4 в качестве ф. p. F может быть взята функция одного из следующих трех типов:

Рис. 14.1.1. (см. скан) Эмпирическое распределение 100 значений предела текучести и подогнанная ф. р. Вейбулла

Таким образом, распределения прочности для материалов, удовлетворяющих условиям (i)-(iv), являются распределениями какого-нибудь из трех экстремальных типов для минимума. Если, кроме того, масштаб измерений таков, что измеренная прочность ограничена снизу, для некоторого то единственно возможным является распределение типа III (или распределение Вейбулла) с параметром положения и общим параметром масштаба, т. е.

для некоторой постоянной Часто является естественным выбором, выражающим тот факт, что прочность не может быть отрицательной. Однако даже в тех случаях, когда прочность обязана быть положительной, может оказаться более предпочтительным использовать какой-нибудь из других типов, например двойной экспоненциальный,

поскольку если параметр положения велик, то вероятность того, что значение х окажется меньше априори заданной нижней границы, пренебрежимо мала. Если (14.1.4) дает лучшее согласие с наблюдениями, чем (14.1.3) в значительной области изменения х, то не обязательно предпочитать (14.1.3). Тем не менее необходимо проявлять большую осторожность в случае, когда целью анализа является предсказание очень низких значений. Это показывает следующий пример.

Пример 14.1.1 (предел текучести высокопрочной стали). Образцы высокопрочной стали специального назначения были испытаны на предел текучести. Выборки брались из всей продукции конкретного производителя за период в два года (1975 и 1976). Эмпирическое распределение 100 наблюдаемых значений предела текучести нанесено на нестандартной вейбулловской вероятностной бумаге на рис. 14.1.1 вместе с подогнанным распределением Вейбулла

мегапаскаль Здесь наблюдается хорошее согласие с распределением Вейбулла в полном соответствии с теорией. Может даже возникнуть соблазн использовать в качестве истинного нижнего предела прочности и предсказывать частоту появления низких значений прочности, пользуясь этой функцией распределения.

Например, поскольку -процентная точка подогнанного распределения равна то представляется, что лишь для одного из 1000 испытываемых образцов прочность окажется меньшей, чем

Однако рис. 14.1.2 показывает наблюдаемое распределение прочности в выборке объема 6262 образцов, в которой до 25 образцов имеют прочность меньшую, чем а 12 образцов имеют прочность даже меньшую, чем Следовательно, явно великолепное согласие с распределением Вейбулла, полученное по 100 образцам в центральной части области изменения, не распространяется по некоторым причинам на хвосты. Одним из возможных объяснений указанного расхождения между поведением на хвосте и в центральной части распределения может быть то, что рис. 14.1.1 описывает изменчивость в материале при некоторых нормальных условиях производства, в то время как чрезвычайно низкие значения прочности на рис. 14.1.2 вызваны какими-то грубыми воздействиями, такими как неправильная классификация продукта производства или внешние помехи производству.

Независимо от способа объяснения этот пример указывает на необходимость значительной осторожности при экстраполяции

Рис. 14.1.2. (см. скан) Эмпирическое распределение 6262 значений предела текучести. В выбранном масштабе ф. р. типа III (Вейбулла) представляется прямой линией.

из области нормальной изменчивости в область весьма далеких значений, даже в тех случаях, когда теория и наблюдения кажутся на первый взгляд находящимися в согласии.

Описание представленных выше данных можно найти в работе Эфвербека и Эстберга (1977) вместе с обсуждением влияния грубых ошибок на конструкционную сталь.