Глава 5. Сходимость точечных процессов превышений и распределений k-x наибольших максимумов

В этой главе мы возвращаемся к общей ситуации и обозначениям гл. 3 и рассматриваем такие точки (интерпретируемые как «моменты времени»), в которых стационарная последовательность

общего вида превышает некоторый заданный уровень и. Моменты таких превышений имеют стохастическую природу, и на них можно смотреть как на точечный процесс. Поскольку превышения очень высоких уровней весьма редки, то можно подозревать, что для таких уровней этот точечный процесс будет иметь пуассоновский характер. В этом плане будет доказана соответствующая теорема, и в качестве следствий из нее будут получены асимптотические распределения наибольших значений (порядковых статистик). Обобщения этой теоремы приводят к дальнейшим результатам относительно совместных распределений наибольших значений. Формальное определение и простые свойства точечных процессов, которые нам понадобятся, помещены в приложении.

5.1. Точечные процессы превышений

Если — заданный «уровень», то мы говорим, что (стационарная) последовательность имеет превышение уровня и в точке если Такие можно рассматривать как «моменты времени», а сами превышения — как события, появляющиеся с течением времени случайным образом, т. е. как точечный процесс (см. приложение).

Мы будем иметь дело с такими превышениями для (обычно) возрастающих уровней и определим подобный точечный процесс, обозначаемый для каждого уровня из последовательности уровней Поскольку уровень при больших будет, как правило, высоким, то и превышения будут иметь тенденцию становиться все более редкими. Мы убедимся, что в связи с этим удобно нормализовать «временную» ось таким образом, чтобы ожидаемое число превышений сохранялось приблизительно постоянным. Для наших целей будет достаточно простого изменения масштаба умножением на п. Именно для каждого определим процесс для полагая При таком определении имеет превышение уровня в точке всякий раз, когда имеет превышение этого уровня в точке Поэтому, хотя превышения уровня и могут уменьшаться в числе с ростом это уменьшение компенсируется тем обстоятельством, что точки располагаются более густо. Действительно, ожидаемое число превышений уровня процессом в интервале (0, 1] равно, очевидно, и стремится к конечному пределу если выбраны согласно (3.4.2).

Наша первая задача будет состоять в том, чтобы показать, что (при выполнении условий превышения уровня

Рис. 5.1.1. Точечный процесс превышений.

процессом принимают при увеличении пуассоновский характер (в действительности в полном смысле сходимости распределений для точечных процессов, описанной в приложении). В частности, это будет означать, что число, скажем, превышений уровня процессом в (борелевском) множестве В, будет иметь асимптотически пуассоновское распределение. Отсюда мы легко сможем получить асимптотическое распределение наибольшего значения среди и таким образом обобщим теоремы 2.2.1 и 2.2.2. Результат о пуассоновости будет доказан в следующем разделе; в разд. 5.3 будут приведены некоторые следствия о распределениях.

Было бы также интересно обобщить теоремы 2.3.1 и 2.3.2, указав совместные распределения наибольших значений. Как будет видно из последующих разделов, это потребует обобщения нашего результата о сходимости на случай одновременного превышения сразу нёскольких уровней.