7.6. Локальные максимумы

В качестве применения теории маркированных пересечений, мы завершим эту главу некоторыми комментариями относительно локальных максимумов. Чтобы избежать технических сложностей, предположим, что процесс стационарный и нормальный и в дополнение имеет выборочные функции, которые с вероятностью единица всюду непрерывно дифференцируемы. Достаточные условия дифференцируемости можно найти в книге Крамера и Лидбеттера (1969, гл. 9), и они требуют чуть большего, чем конечность второго спектрального момента см. условие (7.3.2) непрерывности выборочных функций.

Ясно, что при этих условиях процесс имеет в точке локальный максимум в том и только в том случае, когда имеет в этой точке вход под нулевой уровень, и поэтому целый ряд результатов для локальных максимумов может быть тривиально получен из соответствующих результатов для входов.

В частности, чтобы процесс имел лишь конечное число локальных максимумов в конечном интервале времени, достаточно, чтобы где четвертый спектральный момент

Если то имеет также вторую производную в среднем квадратичном и случайные величины совместно нормальны, имеют нулевые средние и ковариационную матрицу

где мы предполагаем Кроме того, если не имеет вида то имеют невырожденное распределение. (Действительно, определитель указанной ковариационной матрицы равен

и обращается в нуль, если сосредоточено в двух симметричных точках.) Если то мы имеем также аналог формулы (7.3.1)

и производя нормировку к единичной дисперсии, получаем

Будем временно использовать обозначение для числа локальных максимумов процесса в интервале Поскольку есть в точности число входов под нулевой уровень, мы получаем из (7.6.1) и формулы Райса (7.3.4), что ожидаемое число локальных максимумов в равно

В гл. 9 мы будем изучать высоты и положения высоких локальных максимумов. Пусть обозначает число таких локальных максимумов процесса в высота которых превосходит и. В прежних обозначениях если имеет локальные максимумы в точках то число тех из

Лемма 7.6.1. Если стационарный нормальный процесс с непрерывно дифференцируемыми выборочными функциями, имеющий вторую производную в среднем квадратичном и такой, что случайные величины имеют невырожденное распределение, то

где совместная плотность для в предположении, что стандартизован и имеет нулевое среднее и единичную дисперсию,

где

Доказательство. Воспользуемся леммами 7.5.1 и 7.5.2, отождествляя По предположению удовлетворяют условиям леммы 7.5.2 с так что для любого открытого интервала А

где совместная плотность для В силу теорем 7.2.5 и 7.3.2 все точки для которых являются либо точками (строгих) выходов, либо точками (строгих) входов. Если обозначить через число тех максимумов в высоты которых принадлежат интервалу то

поскольку Согласно (7.6.4), правую часть можно сделать сколь угодно малой путем выбора достаточно малого Поэтому удовлетворяют условию (7.5.1) и, в силу леммы и стационарности,

Подставляя теперь

в (7.6.4), получаем часть (i) леммы.

Часть (ii) получается после некоторых вычислений подстановкой в (7.6.2) выражения для нормальной плотности