2.4. Скорость сходимости

Каждый результат о факте сходимости сопровождается вопросом о скорости такой сходимости. В настоящем разделе мы исследуем с этой точки зрения основные предельные теоремы для максимумов (теор. 1.4.2, 1.5.1, 1.5.3), пуассоновскую предельную теорему (теор. 2.1.1) и теоремы сходимости для максимумов (теор. 2.2.1 и 2.2.2). Пусть последовательность уровней, где не обязательно принадлежит семейству и пусть, как и прежде, обозначает общую ф. р. независимых и одинаково распределенных с. в., образующих последовательность Если удовлетворяет предположению теоремы 1.5.1, т. е. если то, обозначая имеем

Если ф. p. F непрерывна, то в (2.4.1) для любых всегда можно получить равенство (беря Однако часто последовательность определяется какими-то другими соображениями. Например, она может иметь форму не дающую возможности получить тождество для если только ф. p. F не является максимум-устойчивой.

Поучительно рассмотреть отдельно две аппроксимации

и

которые вместе дают (2.4.1). Как мы вскоре увидим, для аппроксимации в (2.4.2) существует вполне удовлетворительная равномерная граница порядка Что касается (2.4.3), то разложение Тейлора дает точную точечную оценку этой аппроксимации, но, к сожалению, не видно возможности найти полезную равномерную границу в (2.4.3) при Существенная часть доказательства этих результатов содержится в следующей лемме.

Лемма 2.4.1. (i) Если то

и, кроме того, при

равномерно для всех х в ограниченных интервалах.

(ii) Если то

где

Доказательство, (i) Первое неравенство в (2.4.4) является непосредственным следствием неравенства поскольку третье и четвертое неравенства очевидны, остается установить только второе из них. Вместо этого мы докажем равносильное неравенство

Имеем:

Выражение, заключенное здесь в фигурные скобки, достигает в интервале минимума в точке Поскольку соответственно первому неравенству в (2.4.4), это показывает, что для поскольку справедливо.

Далее, пусть Тогда можно непосредственно убедиться в том, что и что равномерно для всех х в ограниченных интервалах. Поэтому разложение Тейлора дает

равномерно для всех х в ограниченных интервалах, что и доказывает (2.4.5).

(ii) Опять по формуле Тейлора имеем

что и доказывает (2.5.6), поскольку для

Границы первого порядка для скорости сходимости получаются теперь просто. Относительно других бчизких результатов мы отсылаем читателя к работам Дзюбдзелы (1978) и Галамбоша (1978).

Теорема 2.4.2. Пусть последовательность н. о. и

так что

Тогда

где первая граница является асимптотически точной в том смысле, что если то Кроме того, для

Доказательство. Поскольку это сразу вытекает из леммы 2.4.1, если заметить, что

Если так что (2.4.1) выполняется для то по теореме 1.2.3 соотношение (2.4.1) сохраняет силу, если заменяются другими константами и для которых Ясно, однако, что скорость сходимости к нулю (и, таким образом, может быть совершенно различной при различном выборе этих констант. Поэтому можно интересоваться отысканием хороших с этой точки зрения констант Кроме того, даже при использовании «наилучших» скорости сходимости могут быть совершенно различными для различных распределений.

Как было замечено еще Фишером и Типпетом, в саучае нормального распределения экстремумы сходятся к своей предельной

форме чрезвычайно медленно. Фактически если такие же, как и в теореме 1.5.3, и то мы имеем

Отсюда, используя соотношение

получаем

Таким образом, для

и отсюда, так как ошибка в теореме 2.4.2 имеет порядок для н. о. р. стандартных нормальных с. в.

Таким образом, сходимость в теореме 1.5.3 чрезвычайно медленная. Конечно, это могло зависеть от конкретного выбора констант сделанного выше. Холл (1979) исследовал эту задачу глубже и путем элементарных, но довольно сложных выкладок доказал, что если в качестве взять решения уравнения

то

для некоторых строго положительных постоянных где Он доказал далее, что никаким другим выбором улучшить такую скорость сходимости нельзя. Таким образом,

даже если константы используемые в теореме 1.5.2, и не обеспечивают оптимальной скорости сходимости, выиграть за счет использования других можно все же не слишком много.

Рисунки 2.4.1 и 2.4.2 иллюстрируют скорость сходимости для нормальных с. в. Можно видеть, что, несмотря на низкую скорость сходимости, разности -егх) весьма малы даже для малых п. Проблема состоит именно в том, что согласие мало улучшается с ростом п. Это объясняется видом правой части соотношения (2.4.8). Первый сомножитель довольно мал и имеет максимальное значение 0.023 при в то время как второй сомножитель фактически постоянен для умеренных значений . Например,

Рис. 2.4.1. Графики функций (сплошная линия) и для (пунктирная линия) и (штрихпунктирная линия); (а) для определяемых по формулам (1.7.2), (Ь) для определяемых по формулам (2.4.9).

Рис. 2.4.2. Графики функций (сплошная линия) и для определяемых по формулам (1.7.2) (пунктирная линия) и (2.4.9) (штрихпунктирная линия);

для он изменяется между значениями 0.43 и 0.54. Таким образом, приближение первого порядка для очень мало изменяется в этом интервале значений хотя с другой стороны оно и мало В действительности существует некоторое улучшение приближения для значений возрастающих, скажем, от до но это есть следствие эффектов более высокого порядка. Кроме того, для умеренных значений нет большой разницы в том, определяются ли посредством (2.4.9) или как в теореме 1.5.3.

Перейдем теперь к скорости сходимости в теореме 2.1.1, т. е. к вопросу о том, сколь хорошо распределение суммы приближается распределением Пуассона со средним Здесь индикаторная функция, равная 1, если событие в фигурных скобках осуществляется, и нулю в противном случае.

Предположим, что неотрицательные целозначные с. в. Расстояние по вариации между их ф. р. мы определяем как

Ясно, что тогда и только тогда, когда имеют одно и тоже распределение, и

так что метрика в пространстве распределений, заданных на множестве неотрицательных целых чисел. Кроме того, легко видеть, что метрика сходимости по распределению неотрицательных целозначных с. в., т. е. тогда и только тогда, когда сходится к X по распределению. Для вывода использующих расстояние по вариации границ для скорости сходимости в теореме 2.1.1 мы воспользуемся простым и весьма элегантным методом, принадлежащим Серфлингу (1978). Сначала отметим некоторые основные свойства расстояния по вариации, которые будут использованы в приводимых ниже доказательствах и которые показывают полезность введения такого расстояния. Если произвольная вещественнозначная функция, то ясно, что

Далее, если то

и поэтому

Отсюда легко получаем (полагая, например, что

где супремум берется по всем множествам А целых чисел. Отметим между прочим, что, поскольку последнее неравенство показывает, что границы для расстояния по вариации, включающего непосредственно приводят к соответствующим границам, включающим

Удобно расширить систему обозначений, обозначив через расстояние по вариации между ф. р. случайной величины и через расстояние по вариации между Кроме того, мы будем обозначать ф. р. случайной величины, имеющей распределение Пуассона со средним через и ф. р. случайной величины, имеющей биномиальное распределение с параметрами пир, через Следующая лемма принадлежит Серфлингу (1978).

Лемма 2.4.3. (i) Предположим, что с. в. определены на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда

(ii) Если с. в. взаимно независимы и взаимно независимы с. в. то

Доказательство, (i) легко вытекает из (2.4.13), поскольку

Далее, предположим, что выполнено предположение п. (ii), и пусть такая функция, что для всех х, так

что, согласно и аналогично для Тогда, поскольку не зависит от не зависит от

В силу (2.4.12) это доказывает неравенство

и общий случай получается посредством индукции.

Чтобы доказать п. (iii), предположим сначала, что и пусть с. в. имеют независимые пуассоновские распределения со средними соответственно. Тогда, согласно п. (i),

Такое же рассуждение для завершает доказательство п. (iii).

Докажем п. (iv) сначала для Пусть X — биномиальная с. в. с параметрами а с. в. К имеет распределение Пуассона со средним Тогда

и отсюда, используя определение метрики получаем

Далее, пусть с. в. взаимно независимы, имеют биномиальные распределения с параметрами имеют распределения Пуассона со средними Тогда, согласно (ii),

Как и в теореме 2.4.2, ошибку в аппроксимации распределения числа превышений уровня последовательностью распределением Пуассона со средним можно расщепить на две части: первая составляющая ошибки имеет порядок и возникает при аппроксимации биномиального распределения с. в. распределением Пуассона со средним а вторая происходит от замены на

Теорема 2.4.4. Предположим, что последовательность н. о. р. с. в. с ф. p. F, положим

Тогда

и

Доказательство. Поскольку биномиальная с. в. с параметрами то искомое утверждение вытекает из леммы 2.4.3 (iii), (iv) и того факта, что

Следствие 2.4.5. В предположениях и обозначениях теоремы 2.4.4 пусть наибольшее значение среди Тогда

и

Доказательство. Эти неравенства сразу вытекают из доказанной теоремы и соотношения на основании (2.4.13).

Сравнивая это следствие с теоремой 2.4.2, мы видим, что оно указывает правильный порядок сходимости, но константы в неравенствах слишком велики.