Главная > Экстремумы случайных последовательностей и процессов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

13.6. Пуассоновская сходимость выходов

В гл. 9 было показано, что выходы нормального процесса за один или несколько высоких уровней принимают при соответствующих условиях пуассоновский характер. В частности, предполагалось, что ковариационная функция процесса удовлетворяет (8.1.1), так что ожидаемое число выходов в единицу времени, конечно.

Соответствующие результаты можно получить и для -выходов нормальных процессов, когда удовлетворяет условию (13.4.1) с Доказательство этого для случая единственного уровня указано в гл. 12 (теорема 12.4.2).

В случае общих стационарных процессов те же самые результаты можно доказать при условиях, используемых в настоящей главе, включающих условия И снова, если то соответствующие результаты применимы к действительным выходам, а если то они применимы к -выходам. Мы сформулируем и кратко укажем доказательство конкретной теоремы для единственного уровня, когда

Как и в предыдущих исследованиях, рассматриваем период времени и уровень возрастающие таким образом, что и определяем нормализованный точечный процесс выходов соотношением

для каждого интервала (или более общего борелевского множества) В, так что, в частности,

Это показывает, что «интенсивность» (т. е. среднее число событий в единицу времени) нормализованного точечного процесса выходов сходится к Наша задача — показать, что точечный процесс выходов действительно сходится по распределению к пуассоновскому процессу, имеющему интенсивность

Вывод этого результата базируется на следующих двух обобщениях теоремы 13.2.3, в доказательствах которых используются рассуждения, аналогичные тем, на которых строилось доказательство теоремы 13.2.3 и которые приводились в гл. 9.

Теорема 13.6.1. Если в условиях теоремы то

Теорема 13.6.2. Если непересекающиеся подынтервалы в [ то при выполнении условий теоремы 13.2.3 и при имеем

так что по теореме 13.6.1

где длина интервала

Теперь уже относительно просто показать, что точечный процесс сходится (в смысле слабой сходимости) к пуассоновскому процессу имеющему интенсивность

Теорема 13.6.3. Если в условиях теоремы 13.2.3 , где то семейство нормализованных точечных процессов выходов за на единичном интервале сходится по распределению при к пуассоновскому процессу имеющему интенсивность х.

Доказательство. Опять по теореме достаточно доказать, что

(i) при для всех и

(ii) при для всех множеств В вида где любое целое число, а непересекающиеся интервалы

Часть (i) следует тривиальным образом из того, что

Для получения (ii) заметим, что

поскольку если максимум в превосходит но в этих интервалах нет выходов за то должен превосходить в начальной точке хотя бы одного из этих интервалов. Таким образом, последняя сумма просто не более

при Отсюда

Но в силу теоремы 13.6.2, что дает (ii), поскольку

Следствие 13.6.4. Если непересекающиеся (борелевские) подмножества единичного интервала и если граница каждого имеет нулевую меру Лебега, то

где обозначает меру Лебега множества

Доказательство. Это утверждение есть непосредственное следствие доказанной полной сходимости распределений (см. приложение).

Указанные выше результаты касаются сходимости точечных процессов выходов за к пуассоновскому процессу на единичном интервале. Небольшая модификация, требующая выполнения

условий для всех семейств вместо для всех дает возможность доказать соответствующий результат для выходов на всей положительной полуоси, но мы не пойдем по этому пути. Вместо этого мы покажем, как теорема 13.6.3 приводит к асимптотическому распределению наибольшего локального максимума в

Предположим, далее, что имеет непрерывную производную п. н. и (см. гл. 7 и 9) определим как число таких локальных максимумов в интервале для которых значение процесса превосходит и, т. е. число таких точек входов под нулевой уровень производной в (0, 7], что Очевидно, поскольку между двумя выходами имеется хотя бы один локальный максимум. Разумно также ожидать, что если поведение выборочной функции не отличается большой нерегулярностью, то должна проявляться тенденция появления между большинством последовательных выходов за высокий уровень и ровно одного локального максимума над уровнем и, так что будут стремиться к приблизительному равенству. Следующий результат уточняет сказанное.

Теорема 13.6.5. Пусть в прежних обозначениях — такие константы, что при то. Предположим, что конечно для каждого и что при и Тогда, обозначая имеем Если выполнены также и условия теоремы 13.6.3 (так что

Доказательство. Как указывалось выше, Кроме того, если то Поэтому

что стремится к нулю при поскольку и Таким образом, получаем первую часть теоремы. Вторая часть вытекает теперь непосредственно из того, что целозначная с. в. сходится по вероятности к нулю. Это приводит к и отсюда для каждого

Будем использовать теперь обозначение для наибольшего локального максимума в интервале Поскольку события равносильны, мы получаем

Следствие 13.6.6. В условиях теоремы

В качестве еще одного следствия дадим выражение предельного распределения для через предельное распределение для

Следствие 13.6.7. Предположим, что и что условия теоремы 13.2.3 выполняются с для каждого вещественногох Предположим также, что при и Тогда

если (и правая часть равна нулю, если

Доказательство. Утверждение вытекает из следствия 13.6.6 с поскольку из теоремы 13.2.3 следует, что

Отметим, что по лемме 9.5.1 (i) для стационарного нормального процесса, имеющего конечные второй и четвертый спектральные моменты, так что применимы теорема 13.6.5 и следствия из нее.

Соотношение (13.6.4) дает асимптотическое распределение наибольшего локального максимума как следствие из теоремы 13.6.5. Далее, очевидно, можно обобщить теорему 13.6.5 таким образом, чтобы получить «полную пуассоновскую сходимость» для точечного процесса локальных максимумов, имеющих высоту больше и. В действительности можно также обобщить теорему 9.5.2 и получить совместные распределения высот и положений локальных максимумов в этой общей ситуации.

1
Оглавление
email@scask.ru