13.6. Пуассоновская сходимость выходов

В гл. 9 было показано, что выходы нормального процесса за один или несколько высоких уровней принимают при соответствующих условиях пуассоновский характер. В частности, предполагалось, что ковариационная функция процесса удовлетворяет (8.1.1), так что ожидаемое число выходов в единицу времени, конечно.

Соответствующие результаты можно получить и для -выходов нормальных процессов, когда удовлетворяет условию (13.4.1) с Доказательство этого для случая единственного уровня указано в гл. 12 (теорема 12.4.2).

В случае общих стационарных процессов те же самые результаты можно доказать при условиях, используемых в настоящей главе, включающих условия И снова, если то соответствующие результаты применимы к действительным выходам, а если то они применимы к -выходам. Мы сформулируем и кратко укажем доказательство конкретной теоремы для единственного уровня, когда

Как и в предыдущих исследованиях, рассматриваем период времени и уровень возрастающие таким образом, что и определяем нормализованный точечный процесс выходов соотношением

для каждого интервала (или более общего борелевского множества) В, так что, в частности,

Это показывает, что «интенсивность» (т. е. среднее число событий в единицу времени) нормализованного точечного процесса выходов сходится к Наша задача — показать, что точечный процесс выходов действительно сходится по распределению к пуассоновскому процессу, имеющему интенсивность

Вывод этого результата базируется на следующих двух обобщениях теоремы 13.2.3, в доказательствах которых используются рассуждения, аналогичные тем, на которых строилось доказательство теоремы 13.2.3 и которые приводились в гл. 9.

Теорема 13.6.1. Если в условиях теоремы то

Теорема 13.6.2. Если непересекающиеся подынтервалы в [ то при выполнении условий теоремы 13.2.3 и при имеем

так что по теореме 13.6.1

где длина интервала

Теперь уже относительно просто показать, что точечный процесс сходится (в смысле слабой сходимости) к пуассоновскому процессу имеющему интенсивность

Теорема 13.6.3. Если в условиях теоремы 13.2.3 , где то семейство нормализованных точечных процессов выходов за на единичном интервале сходится по распределению при к пуассоновскому процессу имеющему интенсивность х.

Доказательство. Опять по теореме достаточно доказать, что

(i) при для всех и

(ii) при для всех множеств В вида где любое целое число, а непересекающиеся интервалы

Часть (i) следует тривиальным образом из того, что

Для получения (ii) заметим, что

поскольку если максимум в превосходит но в этих интервалах нет выходов за то должен превосходить в начальной точке хотя бы одного из этих интервалов. Таким образом, последняя сумма просто не более

при Отсюда

Но в силу теоремы 13.6.2, что дает (ii), поскольку

Следствие 13.6.4. Если непересекающиеся (борелевские) подмножества единичного интервала и если граница каждого имеет нулевую меру Лебега, то

где обозначает меру Лебега множества

Доказательство. Это утверждение есть непосредственное следствие доказанной полной сходимости распределений (см. приложение).

Указанные выше результаты касаются сходимости точечных процессов выходов за к пуассоновскому процессу на единичном интервале. Небольшая модификация, требующая выполнения

условий для всех семейств вместо для всех дает возможность доказать соответствующий результат для выходов на всей положительной полуоси, но мы не пойдем по этому пути. Вместо этого мы покажем, как теорема 13.6.3 приводит к асимптотическому распределению наибольшего локального максимума в

Предположим, далее, что имеет непрерывную производную п. н. и (см. гл. 7 и 9) определим как число таких локальных максимумов в интервале для которых значение процесса превосходит и, т. е. число таких точек входов под нулевой уровень производной в (0, 7], что Очевидно, поскольку между двумя выходами имеется хотя бы один локальный максимум. Разумно также ожидать, что если поведение выборочной функции не отличается большой нерегулярностью, то должна проявляться тенденция появления между большинством последовательных выходов за высокий уровень и ровно одного локального максимума над уровнем и, так что будут стремиться к приблизительному равенству. Следующий результат уточняет сказанное.

Теорема 13.6.5. Пусть в прежних обозначениях — такие константы, что при то. Предположим, что конечно для каждого и что при и Тогда, обозначая имеем Если выполнены также и условия теоремы 13.6.3 (так что

Доказательство. Как указывалось выше, Кроме того, если то Поэтому

что стремится к нулю при поскольку и Таким образом, получаем первую часть теоремы. Вторая часть вытекает теперь непосредственно из того, что целозначная с. в. сходится по вероятности к нулю. Это приводит к и отсюда для каждого

Будем использовать теперь обозначение для наибольшего локального максимума в интервале Поскольку события равносильны, мы получаем

Следствие 13.6.6. В условиях теоремы

В качестве еще одного следствия дадим выражение предельного распределения для через предельное распределение для

Следствие 13.6.7. Предположим, что и что условия теоремы 13.2.3 выполняются с для каждого вещественногох Предположим также, что при и Тогда

если (и правая часть равна нулю, если

Доказательство. Утверждение вытекает из следствия 13.6.6 с поскольку из теоремы 13.2.3 следует, что

Отметим, что по лемме 9.5.1 (i) для стационарного нормального процесса, имеющего конечные второй и четвертый спектральные моменты, так что применимы теорема 13.6.5 и следствия из нее.

Соотношение (13.6.4) дает асимптотическое распределение наибольшего локального максимума как следствие из теоремы 13.6.5. Далее, очевидно, можно обобщить теорему 13.6.5 таким образом, чтобы получить «полную пуассоновскую сходимость» для точечного процесса локальных максимумов, имеющих высоту больше и. В действительности можно также обобщить теорему 9.5.2 и получить совместные распределения высот и положений локальных максимумов в этой общей ситуации.