6.4. Стационарные нормальные последовательности с сильной зависимостью

В этом и остальных разделах мы обращаемся ко второй теме настоящей главы, а именно хотим посмотреть, как влияет на экстремумы более жесткая структура зависимости стационарной нормальной последовательности В гл. 4 и 5 было показано, что если ковариации убывают к нулю не слишком медленно, то имеет предельное распределение типа I и числа превышений в непересекающихся интервалах асимптотически независимы. В частности, решающие условия, необходимые для выполнения этих результатов, связаны с поведением они выполняются, если или в несколько более общей ситуации если чаще всего не слишком велико. Результаты Миттала и Илвисакера (1975), которые будут приведены ниже, показывают, что эти условия являются почти наилучшими возможными. Например, если то сходится по распределению не к а к свертке с нормальной функцией распределения. Далее, если достаточно гладким образом (но все еще то необходима другая нормализация и предельное распределение является нормальным.

В этом и следующих разделах мы рассмотрим сличай используя идеи из работы Миттала и Илвисакера (1975), покажем, что тогда точечный процесс превышений (обычно используемого) уровня слабо сходится к процессу Кокса (т. е. к смеси пуассоновских процессов, имеющих различные интенсивности). Медленное убывание корреляции не только изменяет предельное распределение экстремумов, но также и нарушает асимптотическую независимость экстремальных значений на различных интервалах. Причина этого объясняется поучительным образом ниже в ходе доказательства теоремы 6.5.1, где предельное распределение превышений уровня получается как предельное распределение превышений независимой нормальной последовательностью случайного уровня где С — стандартная нормальная величина, представляющая «общую часть» первых зависимых переменных.

Основным инструментом, как и в гл. 4, будет нормальная лемма сравнения (теорема 4.2.1), связывающая распределения максимумов двух нормальных последовательностей с различными корреляциями. Теперь уже, разумеется, не достаточно сравнения с независимой последовательностью. Вместо этого удобно проводить сравнение распределения с. в. с распределением максимума из стандартных нормальных величин, любые две из которых имеют постоянную ковариацию Польза такого сравнения вытекает из того факта, что если независимые стандартные нормальные случайные величины, то с. в. имеют попарно одну и ту же ковариацию и поэтому имеет то же распределение, что и Следующая лемма, родственная лемме 4.3.2, даст возможность использовать то желательное сравнение, которое будет приведено в следующем разделе.

Лемма 6.4.1. Пусть постоянные величины. Положим и предположим, что

Тогда для любой последовательности такой, что величина ограниченна,

где

Доказательство. Как и при доказательстве леммы 4.3.2, Мы можем предположить, что сходится (так что (4.3.4)

(i), (ii) выполнены). Положим Ясно, что а следовательно, и зависят также и от но мы не будем явно отражать эту зависимость в обозначениях. Далее, пусть а таково, что для всех достаточно больших (что, очевидно, возможно, поскольку и пусть

Как и в доказательстве леммы 4.3.2, вклад в сумму в (6.4.2) первых слагаемых стремится к нулю. Следовательно, надо доказать только, что остальная часть суммы также стремится к нулю. Имеем

Поскольку существует такая постоянная С, что Следовательно, и так что в силу (4.3.4) мы получаем (обозначая буквой К постоянную, значение которой может изменяться при переходе от одной строки к другой)

при Кроме того, прибавление и вычитание и использование того факта, что при дает

Здесь первая составляющая в правой части стремится к нулю в силу (6.4.1). Далее, оценивая вторую сумму интегралом, мы получаем

следовательно, левая часть (6.4.5) стремится к нулю. В силу (6.4.4) первый сомножитель в правой части (6.4.3) ограничен. Это завершает доказательство соотношения (6.4.2).

Предположения леммы 6.4.1, а следовательно, и теоремы 6.5.1, приводимой ниже, можно ослабить тем же самым каким условие (4.1.1) ослабляется до условия (4.5.3). Поскольку это ослабление осуществляется довольно просто, вывод его мы оставляем читателю.