13.4. Стационарные нормальные процессы

Хотя асимптотические свойства распределений максимума стационарных нормальных процессов мы уже получили непосредственным образом, представляет интерес посмотреть, как вывести эти свойства при помощи общей теории данной главы. Это, разумеется, не умаляет проделанной работы, поскольку для проверки выполнения условий общей теории используются те же вычисления, что и на «прямом пути». Однако, привлечение общей теории позволяет также получить лучшее представление и перспективу в отношении используемых принципов. Мы рассматриваем здесь более общие нормальные процессы, изучавшиеся в гл. 12. Они будут включать, очевидно, и нормальные процессы с конечными вторыми спектральными моментами из гл. 8. Эти последние процессы можно трактовать как частные случаи общих процессов с конечными интенсивностями выходов — классом, который будет рассматриваться в следующем разделе.

Предположим теперь, что стационарный нормальный процесс с нулевым средним и ковариационной функцией (12.1.1), т. е.

где Заново сформулируем основной результат теоремы 12.3.4.

Теорема 12.3.4. Пусть стационарный нормальный процесс с нулевым средним и ковариационной функцией для которой выполняется (13.4.1) и

Если (Н определено в теореме 12.2.9) и при

Доказательство, использующее общую теорию. Положим так что Теорема 12.2.9 сразу показывает, что выполняется (13.1.9) (для всех Определим и заметим, что, согласно (12.2.19), имеет место (13.1.10). Искомый результат будет немедленно следовать отсюда, если показать, что оба условия выполняются относительно семейства для каждого

Известным уже образом легко убедиться в справедливости условия Действительно, согласно следствию 4.2.2, левая часть вместо не превосходит значения

которое мажорируется величиной

стремящейся, в силу леммы 12.3.1, к нулю для каждой последовательности при фиксированном а. Если мы отождествим это выражение с то соотношение (13.1.5) выполняется почти тривиально, поскольку для любого фиксированного когда

Условие столь же просто вытекает из следствия 4.2.4, которое дает

так что

Второе слагаемое стремится к нулю при снова по лемме 12.3.1. Первое слагаемое асимптотически эквивалентно

в силу определений и того обстоятельства, что Поскольку для каждого фиксированного а при отсюда вытекает

Заметим, наконец, что «двойное экспоненциальное предельное распределение» для максимума (теорема 12.3.5) следует точно так же, как и прежде, из теоремы 12.3.4.