2.6. Центральные ранги

Случай центральных рангов, где изучен в работе Смирнова (1949). Хотя мы будем мало говорить об этом случае в последующих главах, для полноты здесь будут обсуждены основные факты, относящиеся к последовательности н. о. р. с. в. Прежде всего отметим, что две последовательности с равными пределами могут приводить к различным невырожденным предельным ф. р. для Точнее, как показано в работе Смирнова (1949), мы можем иметь и

где постоянные, а невырожденные ф. р. разных типов. Однако, как показывает следующий результат, это невозможно, если

Лемма 2.6.1. Предположим, что выполнены соотношения (2.6.1) и (2.6.2), где — невырожденные ф. р., и обе последовательности удовлетворяют (2.6.3). Тогда одного и того же типа, т. е. для некоторых

Доказательство. Если члены последовательности н. о. имеют ф. p. F, то по теореме 2.5.3

где В силу (2.6.3)

Вновь применяя (2.6.3) с заменой на получим, что (2.6.4) выполняется с заменой на и отсюда по теореме 2.5.3 что

Но если случайной величины то, значит, тогда как согласно (2.6.2). Таким образом, в силу теоремы 1.2.3, имеют один и тот же тип, что и требовалось показать.

Оказывается, что для последовательностей удовлетворяющих (2.6.3), возможны только четыре формы предельных распределений удовлетворяющих (2.6.1). Для полноты мы формулируем здесь этот факт в виде теоремы и отсылаем читателя за ее доказательством к работе Смирнова (1949).

Теорема 2.6.2. Если последовательность центральных рангов удовлетворяет (2.6.3), то единственно возможными невырожденными для которых выполняется (2.6.1), являются

Можно заметить, что только третий из этих типов распределений является непрерывным в противоположность положению, имеющему место в случаях фиксированного ранга.

Если убрать ограничение (2.6.3), то ситуация становится более сложной, а диапазон возможных предельных распределений существенно возрастает. Эти вопросы, как и области притяжения, обсуждаются в двух статьях Балкемы и де Хана (1978 a, b)