3.6. Максимумы на произвольных интервалах

При построении пуассоновской теории превышений (в гл. 5) необходимо будет использовать асимптотические результаты для максимума по значениям принадлежащим «интервалам» (т. е. множествам последовательных целых чисел), длины которых асимптотически пропорциональны п. Сначала мы приведем две леммы, которые пригодятся здесь и в других случаях, показывающие, как последовательность можно заменить при рассмотрении «приемлемо близкой» последовательностью Первая из этих лемм посвящена таким заменам, а вторая рассматривает полезный частный случай.

Лемма 3.6.1. Пусть некоторая стационарная последовательность, а числовые последовательности таковы, что при выполняется, в частности, если для некоторого Тогда

(i) если интервал, содержащий целых чисел, где то так что при сходимость имеет место тогда и только тогда, когда

(ii) выполняется тогда и только тогда, когда выполняется

Доказательство. Пусть К — некоторая постоянная, различные целые числа из интервала Тогда в стандартных обозначениях

Если то для правой части этого равенства справедливо

Это соотношение и его очевидная модификация для дают

В приведенных выкладках числа могут зависеть от п. В частности, если взять получим откуда в силу стационарности вытекает (i).

Чтобы доказать (ii), предположим, что выполняется, и положим Тогда с очевидным сокращением обозначений

где для некоторого выбора Далее,

Взяв и троекратно используя (3.6.1), последовательно отождествляя получаем

где

Поэтому при так что выполнено условие

Следующий результат показывает, что если определено таким образом, что (3.4.2) выполнено для некоторого то можно естественным образом определить так, чтобы для другого заданного Более того, если выполнено то выполнено и (или при

Лемма 3.6.2. Предположим, что удовлетворяет (3.4.2) для некоторого фиксированного т. е. и положим для фиксированного

Тогда

(i) удовлетворяет соотношению

(ii) если и выполняется то выполняется и ,

(iii) если и выполняется то выполняется и ,

(iv) если для последовательности и выполняется то выполняется и

Доказательство, (i) В соответствии с что и требовалось.

(ii) Если выполнено и то

что не превосходит поскольку Если то и для так что верно (ii).

Часть (iii) получается столь же просто, поскольку для

В силу верхний предел этого выражения но или стремится к нулю при что приводит к (iii).

(iv). Положим так что согласно выполнено Тогда так что выполняется в силу леммы

Наш первый основной результат является простым следствием теоремы 3.4.1.

Теорема 3.6.3. Пусть стационарная последовательность, а — такие числовые последовательности, что при где фиксированные постоянные. Предположим, что выполнены условия Тогда если последовательность интервалов, состоящих из чисел и то

Доказательство. В силу стационарности достаточно показать, что Далее, из теоремы 3.4.1 следует, что значит, необходимо только показать, что

Это легко доказать таким же образом, как и в лемме 3.6.1 (i), или по-другому, полагая и замечая, что так что лемма дает

Заменяя на и используя тот факт, что и лемму опять приходим к (3.6.5), а отсюда и к искомому результату.

Конечно, если последовательность задана и , то в качестве можно взять последовательность с членами которая будет удовлетворять соотношению по лемме 3.6.2 (i). Это приводит к следующим более простым достаточным условиям для (3.6.4), когда

Следствие 3.6.4. Пусть стационарная последовательность, а такая последовательность вещественных чисел, что где фиксированная постоянная, и выполняются условия Тогда если то (3.6.4) выполняется для последовательности интервалов, состоящих из чисел.

Доказательство. Как указывалось выше, положим Согласно лемме 3.6.1, последовательность удовлетворяет условиям, требующимся в теореме 3.6.3, что и приводит к искомому результату.

Со случаем не охватываемым предыдущей теоремой, столь же просто справиться следующим образом.

Теорема 3.6.5. Предположим, что и что для произвольно большого существует такая последовательность что и выполняются Тогда для и интервала имеющего членов,

Доказательство. В силу стационарности здесь достаточно показать, что Для произвольно большого существует такая последовательность что Так что, поскольку выполнены неравенства для достаточно больших Поэтому, согласно теореме 3.4.1,

Полагая здесь находим, что что и требовалось доказать.

Условия теоремы 3.6.5 в действительности более естественны, чем это могло бы показаться на первый взгляд. Если т. е. если то условие может не выполняться даже для н. о. р. случайных величин. Поэтому в этом случае желательно некоторое изменение хотя бы условия Однако для конечного лемма 3.6.2 показывает, что если и выполнены оба условия то для любого найдется такая последовательность для которой и выполняются условия Перенос этого свойства на случай и составляет условия теоремы 3.6.5.

Из этих результатов легко заметить, что при выполнении условий асимптотическое распределение для имеет тот же тип, что и для когда состоит из членов.

Теорема 3.6.6. Пусть стационарная последовательность, некоторые константы и

для невырожденной ф. p. G. Предположим, что условия выполняются для всех вида и пусть интервал, содержащий целых чисел для некоторого Тогда

Доказательство. Рассмотрим точку х, в которой и положим Тогда силу теоремы 3.4.1. Далее, поскольку ф. р. С непрерывна экстремальных значений), существует такое у, что Положим По предположению условия выполнены и, поскольку теорема 3.4.1 показывает, что Таким образом, выполнены условия теоремы 3.6.3, так что Это сразу приводит к требуемому заключению, когда

В случае искомый результат вытекает из непрерывности и того факта, что для любого

Заметим, наконец, что, поскольку экстремальных значений, она -устойчива и следствие 1.3.2 показывает, что имеет тот же самый тип, что и С, т. е. для некоторых Это приводит к вовсе не являющемуся неожиданным результату о том, что предел для имеет тот же самый тип, что и для