Глава 4. Нормальные последовательности

Понятие нормальности занимает центральное место в теории вероятностей и математической статистике, а наиболее важный класс стационарных последовательностей составляют нормальные последовательности. Важность их усиливается тем фактом, что совместные нормальные распределения этих последовательностей полностью определяются средним и структурой ковариации. В настоящей главе мы исследуем свойства экстремумов стационарных нормальных последовательностей. В частности, условия на ковариацию, обеспечивающие сходимость максимумов к пределу типа I, будут получены как непосредственно, так и путем применения общей теории гл. 3.

4.1. Стационарные нормальные последовательности и условия на ковариацию

Последовательность случайных величин называется нормальной, если для любого набора совместное распределение с. в. является -мерным нормальным распределением. Эти конечномерные распределения, очевидно, определяются средними отдельных с. в. и ковариациями между с. в. для всех

Для стационарных нормальных последовательностей среднее и дисперсия с. в. не зависят от и (без потери общности) могут быть приняты равными соответственно нулю и единице, что приводит к «стандартной нормальной последовательности». Будем предполагать в дальнейшем — обычно не оговаривая это в каждом конкретном случае, — что рассматриваемые последовательности стандартизованы таким образом.

В силу стационарности ковариации, например, между и зависят лишь от разности между (и, разумеется, только лишь от абсолютной величины этой разности), так что можно записать

где называется ковариационной последовательностью процесса. В силу принятой стандартизации

Очевидно, что все конечномерные распределения

стандартной нормальной последовательности определяются ковариационной последовательностью Конечно, ковариационная последовательность не может быть совершенно произвольной, поскольку ковариационная матрица любой группы с. в. должна быть неотрицательно определенной.

Как указывалось в гл. 3, Берман (1964b) привел простые условия на последовательность достаточные для выполнения (1.5.5), т. е. для того, чтобы максимум имел предельное распределение двойного экспоненциального типа

с теми же самыми константами, что и в теореме 1.5.3:

Согласно одному из результатов Бермана, для этого достаточно, чтобы

Доказательству этого результата мы посвятим первую часть настоящей главы. В то же время (4.1.1) можно заменить соответствующей сходимостью по Чезаро,

для и это и некоторые другие условия будут рассмотрены в конце главы.

В работе Миттала и Илвисакера (1975) было показано, что условие (4.1.1), а поэтому и указанное условие сходимости по Чезаро довольно близки к необходимым, т. е. если то получается другое предельное распределение. В действительности столь сильная зависимость разрушает асимптотическую независимость экстремумов на непересекающихся интервалах (см. леммы 3.2.2, 3.3.1 и 3.3.2). Мы вернемся еще раз к этим вопросам и рассмотрим их более подробно в гл. 6.

В настоящей главе получим соответствующие результаты о сходимости для нормальных последовательностей, включающие предел типа I, при различных предположениях о ковариационной структуре, начав с прозрачного условия (4.1.1). Сначала это будет сделано (в разд. 4.3) путем прямого сравнения с н. о. р. нормальной последовательностью безотносительно к условиям Затем будет показано с весьма незначительными дополнительными условиями, что эти условия выпотняются, так что указанные результаты вытекают также и из общей теории гл. 3. Для последующих результатов, например в гл. 5, будет более удобно опираться только на общую теорию, используя условия применительно к нормальным последовательностям. Однако в данном случае оба подхода являются и простыми, и поучительными. В заключение, в разд. 4.6, будут исследованы скорости полученных сходимостей.