Глава 13. Экстремумы стационарных процессов с непрерывным параметром

Основная задача этой главы состоит в распространении результатов для последовательностей из гл. 3 на случай непрерывного параметра и, в частности, в получении соответствующего варианта теоремы об экстремальных типах. Этим мы займемся в первом разделе, используя для непрерывного случая аналог ограничения на зависимость Затем рассмотрим пределы вероятностей для произвольных семейств констант приводящие, в частности, к определению областей притяжения.

Теория применяется в двух случаях: сначала к нормальным процессам, что приводит к иному методу вывода результатов гл. 12, а затем к стационарным процессам с конечными интенсивностями выходов. Наконец, для этого последнего класса выводятся общие результаты для пуассоновости числа выходов за высокие уровни, которые дают в качестве приложений асимптотические распределения (и совместные распределения) наибольших локальных максимумов.

13.1. Теорема об экстремальных типах

Всюду в этой главе мы рассматриваем (строго) стационарный процесс удовлетворяющий общим условиям, сформулированным в начале гл. 7. В частности, будет предполагаться, что имеет п. н. — непрерывные выборочные функции и непрерывные одномерные распределения и что основное вероятностное пространство полно. Как было показано в лемме 7.1.1, при этих условиях является случайной величиной для любого интервала в частности, случайной величиной будет и

В этом разделе нас в основном интересуют асимптотические свойства распределения в особенности то, какие здесь возможны невырожденные предельные распределения, в том смысле что при сходится для некоторых констант к некоторой невырожденной ф. p. G. Следуя Лидбеттеру и Ротсену (1982), мы обнаружим, что представляющие интерес формы теоремы об экстремальных типах сохраняют силу для непрерывного параметра при естественных аналогах ограничения на зависимость, используемого в

дискретном случае. В действительности наш подход к непрерывному случаю состоит в том, чтобы связать непрерывный случай с дискретным, как в гл. 8, рассматривая последовательность «подмаксиму-мов». Более точно, для некоторого (которое должно быть выбрано подходящим образом) положим

так что для любого мы имеем

Ясно, что свойства при можно вывести из свойств взяв и аппроксимируя посредством

Как указывалось выше, рассмотрим аналог для непрерывного случая (который мы обозначим условия используемого для последовательностей. Условие будет использовано для того, чтобы обеспечить выполнение для стационарной последовательности определяемой соотношением (13.1.1), условия Однако, прежде чем ввести это условие, укажем некоторую предварительную форму теоремы об экстремальных типах, в которой просто предполагается, что последовательность удовлетворяет условию Этот результат сразу вытекает из теории, развитой для последовательностей, и ясно иллюстрирует основные представления, требующиеся в с непрерывного параметра. Более полный вариант (теорема 13.1.5), приводимый далее, требует, разумеется, нахождения соответствующих условий на главным из которых будет гарантирующих, что удовлетворяет условию

Теорема 13.1.1. Предположим, что для некоторых семейств стант

для некоторой невырожденной ф. p. G и что последовательность определяемая соотношением (13.1.1), удовлетворяет условию всякий раз, когда для некоторого фиксированного и всех вещественных х. Тогда ииеет один из трех типов экстремальных значений.

Доказательство. Поскольку (13.1.3) выполняется, в частности, когда стремится к бесконечности, пробегая значения и последовательность очевидно, стационарна, мы получим искомый результат, заменив на в теореме 3.3.3 и используя (13.1.2).

Хотя в дальнейшем этот факт не применяется, все же интересно отметить, как показывает приводимое ниже следствие, что отсюда сразу вытекает справедливость теоремы об экстремальных типах при условиях «сильного перемешивания».

Следствие 13.1.2. Теорема 13.1.1 остается в силе, в частности, если условие заменяется предположением о том, что процесс обладает свойством сильного перемешивания. При этом последовательность обладает свойством сильного перемешивания и поэтому удовлетворяет условию

Введем теперь непрерывный аналог условия формулируемый в терминах конечномерных распределений процесса с использованием вновь обозначения для Точки будут принадлежать дискретному множеству где семейство констант, стремящихся к нулю при со скоростью, которая будет определена позднее.

Будем говорить, что для процесса и семейства постоянных выполняется условие относительно констант если для любых точек принадлежащих и удовлетворяющих неравенству мы имеем

где для некоторого семейства при

Как и в дискретном случае, мы можем взять (и возьмем) значения неубывающими при увеличении у. Отметим также, что условие для некоторого может быть заменено условием

для каждого фиксированного

Условие на требуемое в теореме 13.1.1, будет теперь связано с условием путем аппроксимации пересечений и экстремумов процесса с непрерывным параметром соответствующими им величинами для «квантованного варианта». Чтобы достигнуть такой аппроксимации, мы требуем выполнения двух условий, затрагивающих максимум процесса в фиксированных (малых) интервалах времени. Эти условия приведены здесь в форме, которая очень широко применима, тогда как легко проверяемые достаточные условия для важных случаев приведены далее в этой главе.

Удобно ввести функцию , которая обычно будет описывать форму хвоста распределения максимума в фиксированном интервале при больших и. В частности, по мере

необходимости мы будем делать одно или более из следующих, последовательно все более сильных предположений:

существует такое что

Заметим, что соотношение (13.1.9) обычно выполняется и указывает на то, что хвост распределения асимптотически пропорционален тогда как (13.1.8) является более слабым условием, которое иногда удобно использовать как достаточное условие для еще более слабых условий (13.1.7) и (13.1.6). Как мы увидим позднее, можно также отождествить со средним числом выходов за уровень и в единицу времени, в тех важных случаях, когда оно конечно. Во всяком случае, очевидно, можно определить равным для некоторого фиксированного или какой-нибудь асимптотически эквивалентной функции, и затем попытаться проверить выполнение любого из указанных выше условий, в котором может возникнуть надобность.

Мы также будем требовать выполнения предположения, связывающего «непрерывные и дискретные» максимумы в фиксированных интервалах. Конкретно, мы предполагаем как обязательное условие, что для каждого существует семейство констант стремящихся для каждого к нулю при и такое, что для любого фиксированного

Наконец, для проверки (13.1.10) иногда полезно условие

Здесь постоянная а определяет скорость сходимости к нулю при уменьшении а сеть точек имеет тенденцию становиться (асимптотически) более мелкой, и для малых а максимум процесса по дискретной сети, как будет видно ниже, хорошо аппроксимирует непрерывный максимум. (Можно предложить более простые варианты условий (13.1.10) и (13.1.11), в которых предполагается существование одного семейства констант для которого верхние пределы в (13.1.10) и (13.1.11) равны нулю. Можно видеть, что в приводимых ниже

теоремах это можно сделать без потери общности. Однако, как и в случае, рассматривавшемся в гл. 12, условия, включающие параметр а, часто оказывается легче проверить.)

Следующая лемма содержит некоторые простые, но полезные соотношения.

Лемма 13.1.3. (i) Если выполнено (13.1.8), то выполнено и (13.1.7), что в свою очередь влечет за собой выполнение (13.1.6). Поэтому из (13.1.9) очевидным образом следуют (13.1.8), (13.1.7) и (3.1.6).

(ii) Если I — произвольный интервал длины и выполнены оба условия (13.1.6) и (13.1.10), то существуют такие константы что

при , где те же, что и в (13.1.10), причем эта сходимость равномерна во всех интервалах такой фиксированной длины h.

(iii) Если выполнены (13.1.7) и (13.1.11), то выполняется и (13.1.10), и поэтому, в силу выполняется и (13.1.12).

(iv) Если выполнено (13.1.9) и то при

Доказательство, (i) Если выполнено (13.1.8) и при и для любого фиксированного в конечном счете становится меньше, чем так что в силу (13.1.8). Поскольку значение произвольно, отсюда следует, что приводя к (13.1.7). Ясно, что (13.1.7) влечет за собой (13.1.6), поскольку

что доказывает (i).

Чтобы доказать (ii), предположим, что выполнены (13.1.6) и (13.1.10), и пусть интервал фиксированной длины Поскольку количества точек вида и отличаются самое большее на 2, то, используя стационарность, легко видеть, что

так что

Отсюда сразу следует (13.1.12) в силу (13.1.6) и (13.1.10) и выполняется (ii).

Чтобы доказать (iii), заметим, что в существует самое большее полных интервалов вида возможно, еще один меньший интервал, так что

и (13.1.10) легко вытекает из (13.1.11) и (13.1.7).

Наконец, если выполняется (13.1.9) и то

и

так что

что и требовалось.

Для введем последовательность моментов времени и обозначим Тогда, как показывает следующая лемма, относительно легко связать условие для последовательности условием для процесса

Лемма 13.1.4. Предположим, что (13.1.6) выполняется для некоторой функции и пусть для каждого семейство констант с при и для которых выполнено (13.1.10). Если условие выполняется относительно семейства для каждого и величина ограниченна, то последовательность определяемая согласно (13.1.1), удовлетворяет условию где как и выше.

Доказательство. Для заданного пусть Обозначим Для краткости символом будем обозначать элементы одного из семейств и положим

Из леммы 13.1.3 (ii) очевидным образом следует, что

для некоторой постоянной (поскольку ограниченно) и при Аналогично

Далее,

где

Поскольку наибольшее в любом не превосходит а наименьшее в любом не меньше, чем их разность не меньше, чем Кроме того, наибольшее не превосходит так что из (13.1.4) и (13.1.13) получаем неравенство

в котором зависимость от а указана явно. Обозначим теперь Поскольку левая часть (13.1.14) не зависит от а, мы имеем

что как раз и является искомым заключением леммы, при условии что мы в состоянии показать, что для любого (см. (3.2.3)). Но для любого

когда достаточно велико (поскольку убывает по и поэтому, согласно (13.1.5),

Поскольку а произвольно и при , отсюда следует, что как и ожидалось.

Общий вариант теоремы об экстремальных типах для непрерывного случая теперь легко переформулировать, используя только условия, накладываемые на сам процесс

Теорема 13.1.5. При тех же обозначениях для стационарного процесса удовлетворяющего (13.1.6) для некоторой функции предположим, что существуют такие константы что

для невырожденной Предположим, что величина ограниченна и условие выполняется для для каждого шцественного х относительно семейств констант удовлетворяющих (13.1.10). Тогда ф. p. G имеет один из трех типов распределений экстремальных значений.

Доказательство. Утверждение сразу вытекает из теоремы 13.1.1 и леммы 13.1.4, если выбрать

Как указывалось, условия этой теоремы являются достаточно общими. Более конкретные достаточные условия будут приведены в этой главе позднее как приложение.