1.4. Теорема об экстремальных типах

Наша последняя задача при выводе возможных предельных законов для максимумов (в смысле состоит в том, чтобы показать, что -устойчивые распределения — это просто распределения экстремальных значений, перечисленные в разд. 1.1. Более точно, мы покажем, что ф. р. является -устойчивой тогда и только тогда, когда она имеет тот же тип, что и одно из перечисленных распределений экстремальных значений.

Функцию распределения того же типа, что и (т. е. функцию, имеющую вид для некоторых мы будем называть ф. р. типа Аналогично мы будем говорить, что ф. р. является ф. р. типа II (или типа III), если она имеет форму где экстремальных значений типа II (типа III), как она определялась в разд. 1.1. Поскольку параметр а может изменяться, то распределения типа II и типа III в действительности являются семействами типов в рамках нашего узкого понимания термина «тип». Однако использование обычной привычки ссылаться на «три типа экстремальных значений», очевидно, не приведет к каким-либо недоразумениям. Следующая теорема содержит желаемые основные отождествления.

Теорема 1.4.1. Каждое -устойчивое распределение имеет тип распределения экстремальных значений, равно для некоторых и где

Обратно, каждое распределение, имеющее тип распределения экстремальных значений, -устойчиво.

Доказательство. Обратное утверждение теоремы ясно, поскольку, например, для типа 1

и подобные же выражения справедливы для типов II и III.

Чтобы доказать прямое утверждение, мы будем в основном следовать доказательству де Хана (1976). Если -устой-чива, то (1.3.2) выполняется для всех и всех х. Если то (1.3.2) дает

так что

Из свойства -устойчивости с легко видеть, что ф. p. G не может иметь скачков ни в какой конечной (верхней или нижней) концевой точке. Таким образом, неубывающая функция такова, что и поэтому она имеет обратную функцию определенную для всех вещественных у. Кроме того,

так что, согласно лемме 1.2.1 (i),

Вычитая из обеих частей их значения при получаем

и обозначая приходим к соотношению

справедливому для всех вещественных

Переставляя местами и производя вычитание, получаем

Здесь возможны следующие два случая.

(a) для всех так что (1.4.1) принимает вид

Хорошо известно, что единственным монотонно возрастающим решением этого уравнения является просто для некоторого так что или

Поскольку эта функция непрерывна, из леммы вытекает, что

или так что когда

Как уже отмечалось выше, ф. p. G не может иметь скачков ни в какой (верхней или нижней) концевой точке, и поэтому имеет указанный выше вид для всех х, т. е. имеет тип I.

(b) для некоторого так что (1.4.2) дает

где (поскольку из вытекало бы, что для всех у и, следовательно, постоянная величина).

Таким образом, из (1.4.1) мы получаем соотношение

которое приводит к уравнению а а Но функция а (как это следует из монотонна, а все не равные тождественно постоянной решения этого функционального уравнения имеют вид Поэтому (1.4.3) дает нам

Поскольку возрастающая функция, то такова же и и мы должны иметь если если соответствии с леммой

и для

И опять, ввиду непрерывности ф. p. G в каждой конечной концевой точке, мы видим, что ф. p. G является функцией либо типа II либо III с или в зависимости от того, будет ли или

Отсюда непосредственно получается основной результат.

Теорема 1.4.2 (теорема об экстремальных типах). Пусть где — н. о. р. с. в. Если для некоторых констант

невырожденная ф. р., то является ф. р. одного из трех типов экстремальных значений, перечисленных выше. Обратно, каждая ф. p. G, тип которой является одним из типов экстремальных значений, может служить пределом в (1.4.4) и в действительности является таковым, когда сама ф. p. G является ф. р. каждой с. в.

Доказательство. Если выполняется (1.4.4), то теорема 1.3.1 показывает, что -устойчива и, следовательно в силу теоремы 1.4.1 принадлежит одному из типов экстремальных значений. Обратно, если принадлежит какому-то типу экстремальных значений, то по теореме 1.4.1 она -устойчива и теорема показывает, что что приводит к сформулированному утверждению.

Забегая вперед, заметим, что если с. в. не обязательно независимы, но имеет асимптотическое распределение в смысле (1.4.4), то (1.3.1) выполняется при для Если можно показать, что из выполнимости (1.3.1) при следует выполнимость (1.3.1) для всех то отсюда в соответствии с теоремой будет следовать УИ-устойчивость ф. p. G, а следовательно, и то, что имеет тип распределения экстремальных значений. Таким образом, наш метод в ситуациях, где имеется зависимость, будет сводиться просто к тому, чтобы показать, что при соответствующих предположениях истинность (1.3.1) при влечет за собой истинность этого соотношения для всех откуда опять будет следовать теорема об экстремальных типах.

Возвращаясь к н. о. р. случаю, еще раз отметим, что теорема 1.4.2 предполагает, что имеет невырожденную предельную ф. p. G, и уже при этом предположении доказывается, что обязана иметь одну из трех указанных форм. Нетрудно построить такие н. о. р. последовательности для которых никакой такой ф. p. G не сушествует. Чтобы упростить запись в примере,

здесь (и в дальнейшем) будем использовать обозначения для правой концевой точки ф. p. F, т. е.

Иначе говоря, для всех и для всех

Предположим, что каждая с. в. имеет ф. p. F, для которой и что имеет скачок в точке т. е. Отсюда легко следует (как будет видно из следствия 1.5.2), что если произвольная последовательность и то или 1. Таким образом, если то, полагая получаем, что или 1 для каждого х, так что ф. p. G является вырожденной.

Другие, еще более общие примеры, такие как случай, где каждая с. в. пуассоновская, будут рассматриваться в разд. 1.7.