2.7. Промежуточные ранги

Под последовательностью промежуточных рангов мы понимаем такую последовательность для которой но Здесь применима общая теория для возрастающих рангов с некоторыми незначительными упрощениями. К примеру, мы можем переформулировать (2.5.2) как

Следующий результат Ву (1966) указывает возможные нормализованные ф. р. для когда не убывают.

Теорема 2.7.1. Если неубывающая последовательность промежуточных рангов и если существуют такие константы что

для какой-нибудь невырожденной то имеет одну из трех форм:

Эта теорема вполне удовлетворительна, хотя она и не описывает областей притяжения указанных трех предельных форм. Некоторые результаты в этом направлении были получены Чибисовым (1964), Смирновым (1949) и Ву (1966). Однако они в значительной степени зависят от последовательности рангов Например, Чибисовым (1964) изучен класс таких последовательностей рангов для которых Если произвольная ф. р., то известно, что существует самое большее одна такая пара что принадлежит области притяжения типа I, и то же самое утверждение справедливо для типа II. К тому же существуют такие последовательности рангов, для которых в качестве предельного может служить только нормальный закон, и, более того, существуют распределения, притягивающиеся к нему для каждой последовательности промежуточных рангов

Как и для центральных рангов, мы не будем сталкиваться с промежуточными рангами в зависимых случаях, рассматриваемых в последующем. Читатель, интересующийся поведением промежуточных рангов для зависимых последовательностей, может обратиться к работам Уоттса, (1977), (1980). Уоттса и др. (1982), а также к цитированной в этих работах литературе.