Глава 12. Максимумы и пересечения недифференцируемых нормальных процессов

Основное предположение предыдущих глав состояло в том, что ковариационная функция стационарного нормального процесса имеет при представление В этой главе мы рассмотрим более общий случай ковариаций, имеющих при представление в котором положительная постоянная а может быть меньше двух. Сюда включаются ковариации вида при это соответствует процессу Орнштейна-Уленбека. Поскольку при среднее число выходов за любой уровень в единицу времени бесконечно, методы гл. 8 в таких ситуациях неприменимы. Тем не менее другими методами будет показано, что двойной экспоненциальный закон для максимума все еще остается в силе при надлежащем выборе нормирующих постоянных, если выполнено условие (8.1.2) (или несколько более слабый его вариант). Это, разумеется, обеспечивает также альтернативный вывод результатов гл. 8, где Наконец, в то время как совершенно ясна невозможность получения при результатов о пуассоновости выходов, мы увидим, что пуассоновские пределы могут быть получены для родственного понятия -выходов, определяемых аналогично -максимумам из гл. 9.

12.1. Введение и схема доказательства основного результата

Всюду в этой главе будет предполагаться, что является стационарным нормальным процессом (с нулевым средним и единичной дисперсией), имеющим ковариационную функцию удовлетворяющую условию

где а — некоторая постоянная, положительная постоянная. Как указывалось в гл. 7, этого предположения достаточно, в частности, чтобы гарантировать непрерывность выборочных функций процесса и, следовательно, обеспечить определенность и конечность максимума для каждого Наш основной результат (теорема 12.3.5) состоит в том, что при условии (12.1.1) и теперь уже хорошо

известном нам условии убывания максимум имеет предельное распределение типа I, а нменно

Здесь константа та же, что и в гл. 8, но константа зависит от а:

где некоторая строго положительная постоянная

Этот замечательный результат впервые был получен Пикандсом (1969а, b), хотя его доказательства были не совсем полными. Дополнения и обобщения были приведены в работах Бермана Кволса и Ватанабе (1972), а также Линдгрена и др. (1975). Хотя мы и не будем следовать здесь методу Пикандса, этот метод имеет несколько весьма интересных особенностей в том отношении, что он использует обобщенное понятие выходов, делающее возможным получение результатов пуассоновского типа также и при Короче, если задано то говорят, что функция имеет в точке -выход за уровень и, если и для всех и для всех и для некоторого Ясно, что это равносильно требованию того, что имеет (нестрогий или строгий) выход за и в этой точке и, кроме того, для всех Любой -выход всегда является выходом. В то же время очевидно, что выход не обязан быть -выходом. Ясно, что число -выходов, скажем в единичном интервале, ограничено (величиной ) и поэтому обязательно имеет конечное среднее. Даже если это среднее не может быть вычислено столь же просто, как среднее число обычных выходов, его предельная форма для больших и имеет простую связь с результатами для В частности, как мы увидим, она не зависит от выбора Как уже отмечалось, мы не будем использовать -выходы в нашем основном результате, но покажем (в разд. 12.4), как могут быть получены для них пуассоновские результаты.

Главная сложность при выводе основного результата по сравнению со случаем связана с хвостом распределения с. в. для фиксированного который нельзя аппроксимировать хвостом распределения максимума простого косинус-процесса, Наше доказательство состоит из нескольких частей, и может оказаться полезным посмотреть на него «с высоты птичьего полета», используя следующую сводку его основных этапов.

1. Находим хвост распределения максимума случайных величин для фиксированного

при и и фиксированного На постоянная (лемма 12.2.3).

2. Находим хвост распределения максимума случайных величин для фиксированного

где

при (лемма 12.2.4).

3. Аппроксимируем посредством для фиксированного

и

4. Найдем хвост распределения для фиксированного

(теорема 12.2.9), где

5. После того как получены хвост распределения и его дискретная аппроксимация, далее, как и в гл. 8, доказываем асимптотическую независимость максимумов на непересекающихся интервалах при соответствующих условиях на ковариации, например