12.4. Асимптотические свойства e-выходов

Как упоминалось в разд. 12.1, асимптотически пуассоновский характер выходов наблюдается и в случае недифференцируемых нормальных процессов, если вместо обычных выходов рассматриваются -выходы. Чтобы доказать это, нам необходимо вычислить математическое ожидание числа и -выходов процесса за уровень и в интервале

Лемма 12.4.1. Предположим, что удовлетворяет условию (12.1.1). Тогда с таким же, как в теореме 12.2.9, и

Доказательство. Обозначим

Из теоремы 12.2.9 имеем для при и

Поэтому

и

поскольку в существует самое большее один -выход. Следовательно,

и, таким образом,

как и требовалось.

В частности, из этой леммы вытекает, что асимптотически среднее число -выходов за надлежащим образом возрастающий уровень не зависит от выбора и это приводит нас непосредственно к следующему пуассоновскому результату, полученному в работе Линдгрена и др. (1975). Пусть точечный процесс на определяемый соотношением

где уровень и выбирается таким образом, что и пусть пуассоновский процесс, имеющий интенсивность

Теорема 12.4.2. Пусть выполнены предположения теоремы 12.3.4. Тогда нормированный по времени точечный процесс -выходов за уровень и сходится по распределению при и к пуассоновскому процессу на положительной полуоси, имеющему интенсивность

Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 9.1.2, мы должны только проверить, что для

В соответствии с леммой что доказывает Часть (b) доказывается при помощи той же последовательности шагов, что и в теореме 9.1.2, только с очевидными изменениями.

В предыдущих главах мы встретили целый ряд результатов, связанных с пуассоновской сходимостью выходов за возрастающий уровень. Нет никаких дополнительных трудностей в распространении этих результатов на -выходы. Однако мы не хотим удлинять уже и без того длительное путешествие по океану лемм. Отметим, что несколько большую общность можно получить путем включения в (12.1.1) вместо С функции медленного роста. Это обобщение рассматривалось Берманом (1971b), а также Кволсом и Ватанабе (1972).