3.3. Теорема об экстремальных типах для стационарных последовательностей

Наша цель в этом разделе — показать, что теорема об экстремальных типах применима при определенных условиях и к стационарным последовательностям. То есть мы хотим показать, что если где стационарная последовательность, и если

для некоторых констант и невырожденной то (при условиях, которые необходимо сформулировать) распределение экстремальных значений, или, что равносильно (согласно теореме максимум-устойчивое распределение. В силу теоремы 1.3.1 это будет так, если

для каждого Поскольку при формула (3.3.2) просто переходит в (3.3.1), то достаточно (как указывалось после теоремы 1.4.2) показать, что если (3.3.2) выполнено для то оно выполняется также и для Это будет доказано, если для каждого

при Поэтому достаточно показать, что выполнено (3.3.3), и это приведет к желаемому обобщению теоремы об экстремальных типах.

Применяемый метод состоит в разбиении интервала на интервалов длины и использовании «приближенной независимости» максимумов на каждом из них, указываемой леммой 3.2.2, для получения результата, из которого вытекает (3.3.3). Чтобы применить лемму 3.2.2, мы должны укоротить каждый из этих интервалов, чтобы отделить их друг от друга. Это приводит к следующей конструкции, использованной, например, Лойнесом (1965) и приводимой здесь в несколько более общей форме, удобной для последующего использования.

Пусть некоторое фиксированное число, и для любого положительного целого положим (целая часть числа Таким образом, мы имеем Разобьем первые целых чисел на последовательных интервалов следующим образом. Для большого пусть целое число в пределах и

Интервалы имеющие попеременно длины определяются аналогично. Запишем, наконец,

(Заметим, что интервалы определяются не так, как интервалы для

Основные этапы аппроксимации содержатся в следующей лемме. Они, вообще говоря, состоят в том, чтобы показать, во-первых, что «малыми» интервалами можно по сущеетву пренебречь, а затем применить лемму 3.2.2 к (теперь уже отделенным

друг от друга) интервалам В следующей лемме любая заданная последовательность (не обязательно имеющая форму

Лемма 3.3.1. Если использовать введенные выше обозначения и предположить, что выполнено условие то

Отсюда, комбинируя получаем

Доказательство. Результат (i) получается сразу, поскольку и разность этих событий влечет за собой неравенство для некоторого или в противном случае выполнение неравенств для и выполнение неравенства для некоторого что в свою очередь приводит к неравенству (поскольку и поэтому Поскольку вероятности событий не зависят от в силу стационарности, отсюда вытекает (i).

Неравенство (ii) вытекает из леммы 3.2.2, если в этой лемме заменить на и заметить, что вероятность не зависит от

Чтобы получить (iii), заметим, что

Искомый результат получим, полагая из очевидных неравенств

Чтобы получить желаемую аппроксимацию, оценим сверху правую часть (3.3.4).

Лемма 3.3.2. Если выполнено условие произвольное фиксированное целое число и если то в тех же обозначениях, что и в лемме 3.3.1,

Из леммы 3.3.1 следует тогда, что

Доказательство. Поскольку можно выбрать такие интервалы длины что они будут удалены друг от друга и от по крайней мере на (здесь ). Тогда

В силу стационарности согласно лемме 3.2.2, величины, стоящие в правой части, отличаются (по абсолютной величине) от не более чем на соответственно. Поэтому

откуда вытекает (3.3.5), поскольку для

Наконец, в силу (3.3.4) и (3.3.5), полагая согласно получаем

Отсюда получаем (устремляя в правой части к бесконечности), что левая часть неравенства равна нулю. Тем самым теорема (3.3.6) доказана.

Можно отметить, что если

(что имеет место, например, в случае, когда выполнено (1.5.1) с то (3.3.6) является даже более прямым следствием леммы 3.3.1. Действительно, полагая мы имеем в этом случае

Поэтому (3.3.6) вытекает немедленно из условия и (3.3.4).

Теорему об экстремальных типах теперь легко получить при общих предположениях.

Теорема 3.3.3. Пусть стационарная последовательность, такие константы, что сходится к невырожденной Предположим, что условие выполнено для для каждого вещественного х. Тогда имеет одну из трех форм, перечисленных в теореме 1.4.1.

Доказательство. Записывая и используя вместо получаем (3.3.3). Как было замечено в связи с (3.3.3), соотношение (3.2.2) выполняется для всех поскольку оно выполняется по предположению для Поэтому если для то по теореме 1.3.1 ф. p. G М-устойчива и в силу теоремы 1.4.1 имеет тип распределения экстремальных значений.

Следствие 3.3.4. Указанный результат остается в силе, если условие выполнения для каждой последовательности заменить требованием выполнения условия (Поскольку тогда справедливо для любой последовательности, и в частности для для каждого

Интуиция подсказывает возможность использования для областей притяжения тех же самых критериев, исходящих из маргинальной функции распределения что и в классическом случае. Мы покажем, что этот факт действительно имеет место (по крайней мере при некоторых дополнительных предположениях) как простое следствие результатов следующего раздела. Можно отметить, что для экстремумов процессов с непрерывным параметром (которые рассматриваются в гл. 13) такое утверждение уже не имеет места в точности в том виде, как для последовательностей. Соответствующие критерии должны быть модифицированы некоторым (весьма интересным) образом.