9.6. Максимумы при более общих условиях

Мы исследовали локальные максимумы при довольно ограничительном предположении о том, что процесс два раза дифференцируем (в среднем квадратичном), т. е. Если то среднее число нулей производной в силу формулы Райса, бесконечно и в действительности сколь угодно близко к каждому локальному максимуму может быть расположено бесконечно много других локальных максимумов, что исключает возможность предельной теоремы пуассоновского типа для положений локальных максимумов.

Один из путей обхода этой трудности состоит в исключении из дальнейшего рассмотрения некоторого малого интервала, окружающего каждый высокий максимум, начиная с наибольшего. Чтобы быть более точными, пусть

— глобальный максимум и

— его положение. Для произвольной, но фиксированной постоянной положим и определим

Действуя рекуррентным образом с использованием соотношения

мы получаем последовательность высот и положений -максимумов, и таких максимумов в любом конечном интервале будет обязательно конечное число. В действительности нетрудно связать эти величины с точечным процессом выходов (тем же путем, каким регулярные локальные максимумы могли быть заменены выходами за высокие уровни при и получить таким образом следующую пуассоновскую предельную теорему, доказательство которой мы опускаем.

Теорема 9.6.1. Предположим, что стандартизованный нормальный процесс с при Тогда точечный процесс нормированных -максимумов сходится по распределению к тому же пуассоновскому процессу на плоскости, что и в теореме 9.5.2.

Заметим, что указанные предельные свойства не зависят от выбора Мы еще вернемся к этой теме в гл. 12 для менее регулярных процессов.