3.2. Перемешивание по распределениям

Имея в виду ослабление условия перемешивания, заметим, что события, представляющие интерес в теории экстремальных значений, обычно имеют вид или являются пересечениями таких событий. Например, событие есть просто Поэтому возникает мысль предложить условие, похожее на перемешивание, но относящееся лишь к событиям такого типа. Например, одним таким естественным условием могло бы являться следующее условие, которое мы назовем условием Для краткости вместо где совместная ф. р. случайных величин будем писать

Будем говорить, что выполнено условие если для любых целых чисел для которых и любого вещественного и

где

Позднее мы увидим, что при условии выполняются и теорема об экстремальных типах, и ряд других результатов. Однако, хотя и дает существенное уменьшение требований на перемешивание, возможно его дальнейшее ослабление. Мы рассмотрим условие, называемое которое содержит требование, аналогичное (3.2.1), но применяемое только к некоторой последовательности значений а не обязательно ко всем значениям .

Более точно, если заданная последовательность вещественных чисел, то условие определяется следующим образом: будем говорить, что выполнено условие если для любых целых чисел

для которых

где для некоторой последовательности

Иногда полезны модификации условия указываемые в следующей лемме. В дальнейшем символом обозначается целая часть числа а.

Лемма Последовательность в определении можно взять невозрастающей по I при каждом Если последовательность взята невозрастающей по I при каждой фиксированном то условие при можно переписать в виде

Доказательство. Что касается то заметим просто, что можно заменить максимумом левой части (3.2.2) по всем допустимым выборам значений и получить, возможно, меньшее значение которое не возрастает по при каждом и все еще удовлетворяет соотношению при

Что касается то сразу видно, что если для некоторой последовательности то (3.2.3) выполнено.

Обратное можно показать, замечая, что из (3.2.3) вытекает существование такой возрастающей последовательности что для Если положить для то так что и в качестве последовательности можно взять

Выполнение условия сильного перемешивания влечет за собой выполнение условия откуда в свою очередь вытекает выполнение условия для любой последовательности К тому же при надлежащем выборе выполняется для стационарных нормальных последовательностей при слабых ограничениях, когда условие сильного перемешивания может и не выполняться.

Следующая лемма показывает, каким образом условие дает «степень зависимости», подходящую для исследования экстремумов в последующих разделах. Если любое множество целых чисел, то будет обозначать

(и, конечно, если Нам будет удобно придать смысл «интервала» любому конечному множеству последовательных целых чисел, скажем длина такого интервала полагается равной Если другой интервал с то будем говорить, что удалены друг от друга на расстояние

Всюду далее будет стационарной последовательностью.

Лемма 3.2.2. Предположим, что выполняется для некоторой последовательности Пусть фиксированные числа, а такие подынтервалы интервала что при удалены друг от друга не менее чем на Тогда

Доказательство. Это неравенство легко показать индукцией. Для краткости положим Пусть где (применяя, если необходимо, перенумерацию) Тогда

поскольку Аналогично

поскольку Действуя далее таким же образом, получаем искомый результат.

Эта лемма показывает степень независимости максимумов на отдельных интервалах, которая будет основой доказательства теоремы об экстремальных типах для стационарных последовательностей.