Глава 11. Максимумы и минимумы и теория экстремумов для зависимых процессов

То, что экстремумы двух и более взаимно независимых процессов независимы, тривиально. В этой главе мы установим, возможно несколько неожиданный, факт, состоящий в том, что асимптотически независимость экстремумов сохраняется для нормальных процессов, даже когда они сильно коррелированы. Однако сначала мы исследуем асимптотическую независимость максимумов и минимумов в одном нормальном процессе. Поскольку минимумы процесса являются максимумами для такую независимость можно рассматривать как частный случай независимости экстремумов двух процессов, именно максимумов полностью зависимых процессов

11.1. Максимумы и минимумы

В случае стандартизованного стационарного нормального процесса процессы имеют одно и то же распределение. Если обозначить

то очевидно, что следовательно, имеет точно такое же распределение, как и Если удовлетворяет предположениям теоремы 8.2 5, то при где При выполнении предположений теоремы 8.2.7 отсюда следует, что

с теми же самыми нормировками, что и для максимумов, т. е.

Берманом (1971b) было показано, что без каких-либо дополнительных предположений минимум и максимум асимптотически независимы по аналогии с асимптотической независимостью минимумов и максимумов независимых последовательностей/установленной в теореме 1.8.3. Мы получим сейчас результат Бермана (теорема 11.1.5).

Используя те же обозначения и методы, что и в гл. 8, мы обозначаем через чисто выходов за уровень процесса и последовательности и определим по аналогии как соответствующие числа входов под уровень Заметим прежде всего, что если для

и если таким образом, что то и и

см. (9.2.3). В частности, отсюда вытекает, что если таким образом, что то также и

Следующая лемма содержит необходимую дискретную аппроксимацию и разделение максимумов. Как и в гл. 8, мы разбиваем расширяющийся интервал на частей и каждую из них делим еще на две части, и II, имеющие длины соответственно. Символом будем обозначать минимум процесса на интервале

Лемма 11.1.1. Если выполняется соотношение (8.1.1), то при то

где равномерно во всех интервалах I длины для фиксированного

Доказательство, (i) Применяя лемму получаем

Части получаются, как и в лемме 8.2.3, и мы не будем повторять здесь соответствующих деталей.

Следующие две леммы дают асимптотическую независимость и максимумов, и минимумов на отдельных интервалах

Лемма II. 1.2. Пусть -стандартные нормальные величины, имеющие ковариационную матрицу аналогичные величины, но имеющие ковариационную матрицу и пусть Кроме того, пусть векторы с вещественными компонентами и

Тогда

Доказательство. Здесь требуется лишь незначительное изменение доказательства теоремы 4.2.1. Таким же образом, как и в том доказательстве (и в тех же обозначениях), показывается, что левая часть (11.1.2) равна

Выполняя интегрирование по мы получаем четыре слагаемых, содержащих соответственно подынтегральные выражения

Каждое из этих слагаемых можно оценить, как в доказательстве теоремы 4.2.1, и получить результат леммы.

Лемма 11.1.3. Предположим, что при и что при а также что если достаточно медленным образом, то

для каждого где (Это выполняется, в частности, если при Тогда

Доказательство. Часть (i) вытекает из леммы 11.1.2 точно таким же образом, как и лемма вытекает из теоремы 4.2.1. Что касается части (ii), то заметим, что для достаточно больших в силу леммы

Теперь из леммы и леммы следует, что для достаточно больших

где Поэтому, как и в лемме 8.2.4 (ii),

Заключительный существенный этап доказательства асимптотической независимости и состоит в том, чтобы показать, что интервал фиксированной длины не содержит одновременно больших положительных и больших отрицательных значений

Лемма 11.1.4. Если выполняется (8.1.1), то существует такое что при

для всех

Доказательство. Согласно лемме достаточно показать, что

для некоторого удовлетворяющего соотношениям В силу стационарности, эта вероятность ограничена сверху величиной

Здесь для

поскольку при условии случайная величина нормальна и имеет среднее и дисперсию Далее, выберем такое чтобы для что возможно в силу (8.1.1). Если то

для так что вероятность в (11.1.5) ограничена величиной

и

Вместе с (11.1.4) и (11.1.5) это показывает, что

поскольку может быть выбрано таким, чтобы сделать сходимость сколь угодно медленной.

Теорема 11.1.5. Пусть при таким образом, что

Предположим, что стационарный нормальный процесс удовлетворяет (8.1.1) и либо условию (8.1.2), либо более слабому условию (11.1.3). Тогда

и поэтому

Таким образом, нормированные минимум и максимум асимптотически независимы.

Доказательство. В соответствии с леммой 11.1.1 (ii), (iii) и леммой 11.1.3 (i), (ii) имеем

для произвольного и отсюда

при Кроме того, в силу леммы

Рассуждая, как и при доказательстве теоремы 8.2.5, получаем нужный результат из леммы 8.2.1, используя тот факт, что

Эта теорема имеет следствия, аналогичные следствиям, получаемым в отношении максимумов на основании теоремы 8.2.5, но, прежде чем обсуждать их, приведем одно простое следствие относительно абсолютного максимума процесса

Следствие 11.1.6. Если то

и, кроме того,

Как и для одних только максимумов, теперь легко доказать асимптотическую независимость максимумов и минимумов на нескольких непересекающихся интервалах, длины которых пропорциональны Следствием является пуассоновская теорема сходимости для двух точечных процессов выходов за и входов под с независимыми предельными пуассоновскими процессами. Кроме того, точечный процесс входов под несколько низких уровней сходится к точечному процессу, имеющему пуассоновские компоненты, получаемые последовательным прореживанием, как в теореме 9.3.2, и эти процессы входов асимптотически не зависят от процессов выходов. Конечно, отсюда тогда следует, что весь точечный процесс локальных максимумов, рассматривавшийся в теореме 9.5.2, также асимптотически не зависит от точечного процесса нормированных локальных минимумов.