1.2. Обратные функции и теорема Хинчина о сходимости

Прежде всего будет удобно получить несколько полезных результатов для обращений монотонных функций. Такие обращения

можно определять различными способами, из которых для наших целей наиболее подходит следующий.

Если неубывающая, непрерывная справа функция, то мы определяем обратную к ней функцию на интервале соотношением

(Заметим, что область определения функции записывается как открытый интервал, но может включать и любой из его концов, если или достигается при конечном значении

Лемма 1.2.1. (i) Пусть определенная выше функция, и с — некоторые постоянные и . Тогда

и) Если при тех же условиях на функция непрерывна, то

Если невырожденная ф. р., то существуют такие что величины однозначно определены (и конечны).

Доказательство, (i) Имеем

что и требуется.

(ii) Из определения ясно, что Если для некоторого х имеет место строгое неравенство, то из определения вытекает существование такого что так что поскольку функция неубывающая. Для имеем тогда как для имеем что противоречит непрерывности Поэтому как и утверждалось.

(iii) Если ф. p. G невырожденная, то существуют такие что Ясно, что обе величины определены однозначно. К тому же к знак равенства требовал бы выполнения неравенства для всех так что что противоречит равенству Таким образом, что и требовалось.

Следствие 1.2.2. Если невырожденная ф. р. и такие постоянные, что для всех х, то и

Доказательство. В соответствии с леммы выберем

так, чтобы

Переходя к обратным функциям для в соответствии с получаем

для всех у. Подставляя сюда получаем

откуда непосредственно вытекает, что

Мы получим теперь обещанный общий результат Хинчина.

Теорема 1.2.3 (Хинчин). Пусть -последовательность невырожденная ф. р. Пусть константы таковы, что

Тогда, для того чтобы для некоторой невырожденной ф. p. и констант имела место сходимость

необходимо и достаточно, чтобы

для некоторых и и тогда

Доказательство. Обозначая соотношения (1.2.1)-(1.2.3) можно переписать в виде

Если выполнены соотношения (1.2.1) и (1.2.3), то, очевидно, выполняется и (1.2.2) с так что (1.2.1) и (1.2.3) влекут за собой (1.2.2) и (1.2.4).

Доказательство леммы будет завершено, если мы покажем, что из (1.2.1) и (1.2.2) вытекает (1.2.3), поскольку тогда, как и выше, будет выполняться (1.2.4).

Поскольку ф. p. G предполагается невырожденной, то существуют такие две несовпадающие точки в качестве которых можно взять точки непрерывности ф. p. что

Последовательность должна быть ограниченной. В противном случае можно было бы подобрать такую

последовательность для которой Отсюда в силу (1.2.1) (поскольку G - ф. р.), очевидно, следовало бы, что предел последовательности равен нулю или единице, что противоречит соотношению (1.2.2) для Поэтому последовательность ограниченна, как и что в совокупности доказывает ограниченность каждой из последовательностей и

Таким образом, существуют такие постоянные и последовательность целых чисел что откуда, как и выше, следует, что

Поскольку в силу и то мы должны иметь С другой стороны, если бы для какой-то другой последовательности целых чисел то мы имели бы согласно следствию Таким образом, что и завершает доказательство.