5.8. Моменты рекордов и процессы экстремумов

Имеется обширная литература, посвященная моментам рекордов н. о. р. последовательностей и так называемым процессам экстремумов 11. В качестве иллюстрации результатов предыдущего раздела мы рассмотрим асимптотическое распределение моментов рекордов в зависимых процессах и кратко прокомментируем процессы экстремумов.

По определению является рекордом последовательности Для значение является рекордом, если Моменты рекордов равны при этом и для

Прежде всего отметим некоторые свойства моментов рекордов н. о. р. последовательностей. Один интересный факт для н. о. р. с. в. состоит в том, что распределение не зависит от маргинальной ф. p. F для непрерывных Действительно, в этом случае моменты рекордов в точности те же самые, что и а последние с. в., очевидно, н. о. р. и имеют равномерные распределения на ( Далее, ясно, что для н. о. р. с непрерывной маргинальной ф. р. и для события состоящего в том, что момент рекорда,

В тех же условиях для

при фиксированном В частности, (5.8.2) показывает, что для справедливо при и поэтому для любого Поскольку по индукции отсюда следует, что все конечны с вероятностью единица.

Пусть точечный процесс на единичном интервале

образованный точками для если имеет рекорд в момент то имеет точку в В силу (5.8.1), для н. о. р. с непрерывной ф. р. при

и можно без труда доказать, что асимптотически является пуассоновским процессом, имеющим интенсивность Несколько дальнейших результатов относительно моментов рекордов для н. о. р. последовательностей можно получить прямыми вычислениями. Статья Глика (1978) содержит вполне доступное элементарное изложение этих и других близких результатов.

Ясно, что эти результаты вовсе не обязаны сохранять силу в случае зависимых последовательностей. Однако, как мы увидим, для многих таких последовательностей асимптотическое распределение моментов рекордов оказывается тем же самым, что и для независимых последовательностей. Это можно доказать элементарными средствами таким же методом, как и теоремы 5.6.2 и 5.6.3. Однако вместо этого мы используем здесь общий подход, кратко описанный в приложении, чтобы проиллюстрировать силу этого подхода.

Теорема 5.8.1. Предположим, что выполняются предположения теоремы 5.7.1. Тогда точечный процесс образованный точками сходится при к пуассоновскому процессу имеющему интенсивность на интервале ( В частности, если то

Доказательство. По определению сходимость на равносильна сходимости совместного распределения случайных величин для которая в свою очередь имеет место, если сходится к на для Поэтому, чтобы заключить, что сходится к на ( достаточно доказать сходимость на для каждого

Пусть те же, что и в теореме 5.7.1. Тогда на мера на очевидно, определяет меру на т. е. где отображает меры на в меры на Предположим, что целочисленная мера на является простой и обладает тем свойством, что для некоторой постоянной выполняются условия для всех Тогда

Рис. 5.8.1. Точками представлены атомы меры крестиками — атомы меры Пунктирные линии иллюстрируют для нескольких существенных точек, что ни на одной из горизонтальных прямых под у нет двух атомов меры

из утверждения сразу вытекает, что отображение непрерывно в точке см. рис. 5.8.1. (Заметим, что последовательность убывающая, так что рекорды последовательности соответствуют последовательным минимумам для Поскольку почти наверное обладает свойствами, требуемыми от то отображение почти наверное -непрерывно (как это определяется после теоремы и поэтому

на Для завершения доказательства мы должны только показать, что имеет распределение, приписываемое т. е. что это пуассоновский процесс с интенсивностью

Простой путь — показать непосредственно, что в некотором частном случае, поскольку тогда из единственности пределов распределений следовало бы, что имеет искомое распределение. В связи с этим используем теорему чтобы показать, что если с непрерывным маргинальным распределением. Действительно, легко проверить, что для случайные величины независимы, как и с. в. независимые по определению. Поэтому, чтобы доказать П. 1(b), достаточно заметить, что, согласно (5.8.2),

для Таким образом, в частном случае

н. о. р. случайных величин, а следовательно, в силу (5.8.4), и в общем случае при выполнении условий теоремы.

Естественно, наконец, рассмотреть совместное распределение моментов рекордов и рекордных значений, которое в свою очередь приводит к процессу Изучение таких процессов и их сходимости при надлежащей нормализации к так называемым процессам экстремумов было начато работами Двасса (1964) и Ламперти (1964) и привело к интересным результатам относительно и относительно предельных процессов экстремумов. В то же время, как было замечено в работе Резника (1975), сходимость к процессам экстремумов легко выводится из полной пуассоновской сходимости путем таких же рассмотрений, как и в доказательстве теоремы 5.8.1. Поскольку в этих выводах не используются никакие новые идеи, мы не будем углубляться далее в этом направлении.