10.4. Выбросы за высокий уровень

Обратимся теперь к асимптотическому виду меток для пересечений высоких уровней, соответствующему предельному эмпирическому распределению Для этого просто исследуем модельный процесс поскольку, как показано в теореме 10.3.2, его распределение совпадает с -распределением метки.

Длительность и высота выброса за высокий уровень и окажутся величинами порядка Поэтому мы нормируем процесс увеличивая масштаб в раз. Прежде чем перейти к деталям, приведем эвристические соображения, побуждающие получать точные результаты. Введем в рассмотрение разложения

при вытекающие из (10.1.1), и заметим, что поэтому при Подставляя это в выражение для и отбрасывая все члены более высокого порядка малости, получаем

при и фиксированном

Многочлен в (10.4.2) принимает максимальное значение в точке и это значение равно Следовательно, можно ожидать, что имеет максимум порядка и Поэтому вероятность того, что этот максимум превосходит и должна быть приблизительно равна

Следующая теорема обосновывает приведенные выше соображения.

Теорема 10.4.1. Предположим, что удовлетворяет (10.1.2) и при Тогда для каждых

т. е. нормированная высота выброса процесса за уровень и асимптотически показательна.

Доказательство. Сначала докажем, что максимум процесса наблюдается вблизи нуля. Выберем такую функцию что при и Тогда

поскольку эта вероятность не больше, чем

Здесь

является собственной (т. е. конечной) случайной величиной, и (поскольку при и совместное распределение не вырождено для всех так что для для и некоторого зависящего от так что

что влечет за собой (10.4.3).

Ввиду (10.4.3) нам необходимо только показать, что

для В силу (10.4.1)

равномерно для при и -у Поскольку имеет п. н. непрерывно дифференцируемые выборочные функции с справедливо соотношение

Отсюда следует, что максимум процесса и асимптотически определяется максимумом многочлена и

что и надо было показать.

Как упоминалось выше, результаты о распределениях и пределы для модельного процесса переносятся на метки на эргодическое поведение исходного процесса после

В частности, теорема 10.4.1 имеет своим следствием, что для эргодических процессов предельное эмпирическое распределение нормированных максимумов после выходов за уровень и является для больших значений и приближенно показательным, т. е.

при Это проясняет сделанное в начале этой главы наблюдение, что выброс за высокий уровень и превосходит и уровень с вероятностью

Здесь надо отметить, хотя это формально и не доказано, что выбросы, связанные с различными выходами за уровень, асимптотически независимы. Это объясняет асимптотическую независимость исчезновений выходов при возрастании уровней.

Теорема 10.4.2. Предположим, что удовлетворяет (10.1.2) и при Тогда с вероятностью единица нормированный модельный процесс сходится равномерно для к параболе

в том смысле, что с вероятностью единица

при

Эта теорема проливает некоторый свет на дискретную аппроксимацию, использованную в доказательствах теорем о максимуме и пуассоновских свойствах в предыдущих главах. Выбор квантования с шагом казался там обусловленным чисто техническими причинами. Теорема 10.4.2 объясняет, почему такой

выбор себя оправдывает. В силу этой теоремы естественным масштабом времени для выбросов за высокий уровень и является так что квантование времени с шагом улавливает высокие максимумы при возрастании числа точек квантования.