Глава 3. Максимумы стационарных последовательностей

В этой главе классическая теория экстремальных значений гл. 1 распространяется на широкий класс зависимых (стационарных) последовательностей. Входящие в этот класс последовательности имеют не «слишком сильную» зависимость своих членов. В частности, основным предположением при построении соответствующей теории будет некоторое условие на перемешивание, связанное только с распределениями и более слабое, чем обычно используемые виды ограничения на зависимость, такие, как сильное перемешивание.

3.1. Ограничения на зависимость для стационарных последовательностей

Понятие последовательности н. о. р. случайных величин можно обобщать различными способами. Можно или допустить зависимость членов последовательности или разрешить им иметь различные распределения, или допустить и то и другое. Например, одним очевидным обобщением является рассмотрение марковской последовательности конечного порядка. Рассмотрение марковских последовательностей может приводить к плодотворным результатам для экстремумов, однако оно не является целью нашего изложения.

Мы сохраним предположение о том, что все имеют одинаковое распределение. В действительности естественно

рассматривать стационарные последовательности, т. е. такие последовательности, для которых совместные распределения значений совпадают при любом выборе В этом случае мы будем предполагать, что зависимость между и убывает определенным образом при возрастании Это отличается от марковского свойства, где по существу прошлое и будущее независимы при заданном настоящем

Простейшим примером типа ограничений, которые мы рассматриваем, является -зависимость, которая требует, чтобы и были независимыми при

Более часто используемым типом ограничений на зависимость указанного вида для стационарных последовательностей является условие сильного перемешивания, впервые введенное Розенблаттом (1956). Говорят, что последовательность удовлетворяет условию сильного перемешивания, если существует функция «коэффициент перемешивания», стремящаяся к нулю при и такая, что

когда для любых Здесь обозначает -алгебру, порожденную случайными величинами, заключенными в скобки. Если последовательность перемешивается в указанном смысле, то всякое событие А, «относящееся к прошлому вплоть до момента «почти не зависит» от любого события В, «относящегося к будущему, начиная с момента », когда значение велико. Отметим, что указанное условие перемешивания равномерно в том смысле, что не зависит от конкретного выбора событий

Корреляция между с. в. и также является (частичной) мерой их зависимости. Поэтому другое возможное ограничение зависимости того же типа таково: где при Ясно, что такое ограничение наиболее полезно, когда образуют нормальную последовательность.

При каждом из указанных выше общих типов ограничений удается доказать сохранение тех или иных результатов теории экстремальных значений и в более общем случае. Например, Ватсон (1954) обобщил (1.5.2) на -зависимые стационарные последовательности. Лойнес (1965) получил значительное количество результатов (включая (1.5.2) и теорему об экстремальных типах) для стационарных последовательностей, удовлетворяющих условию сильного перемешивания. Берман (1964b) получил (1.5.5) для стационарных последовательностей, удовлетворяющих некоторым простым ограничениям на корреляцию.

Ясно, что результаты Лойнеса (1965) и Бермана (1964b) связаны друг с другом — оба они используют похожие методы, однако точная связь не вполне очевидна, поскольку используются различные ограничения на зависимость. Ограничения Бермана на корреляцию — весьма слабые ограничения, приводящие к сильным результатам для нормальных последовательностей. Условие перемешивания, использованное Лойнесом, будучи пригодным во многих ситуациях, очевидно, довольно ограничительно. В этой главе мы предлагаем гораздо более слабое условие «типа перемешивания», которое впервые появилось у Лидбеттера (1974) и при котором, к примеру, результаты Лойнеса (1965) все еще остаются в силе. Кроме того, это условие выполняется для стационарных нормальных последовательностей, удовлетворяющих ограничениям Бермана на корреляцию. Это будет показано в следующей главе, что дает возможность прояснить связь между различными результатами.