Предисловие редактора перевода

Задачи, связанные с экстремальными (максимальными или минимальными) значениями из некоторого набора случайных величин, встречаются в различных областях приложений. Пожалуй, простейшей из них является задача о прочности цепи, составленной из однотипных звеньев. Если — сила, разрывающая звено, то сила, разрывающая цепь, определяется самым слабым звеном, т. е. равна минимуму Исследование прочности нитей или полос некоторых материалов приводит к сложным математическим задачам, связанным с экстремальными значениями реализаций случайных процессов.

Книга содержит изложение современного состояния математической теории экстремальных значений последовательностей случайных величин и случайных процессов. Обсуждение приложений теории экстремумов последовательностей случайных величин в задачах расчета прочности материалов, влияния интервалов между измерениями на пропуск экстремальных значений читатель найдет в заключительной части книги. Рассматриваются примеры из метеорологии (измерения температуры воздуха и экстремальных скоростей ветра), из экологии (измерения максимальных концентраций вредных примесей в воздухе), из океанологии (измерение высоты морских волн) и другие примеры.

Основные разделы книги содержат строгое и математически изящное изложение наиболее существенных результатов теории экстремальных значений. Книга разбита на части, последовательно обобщающие друг друга. Доказательства даны достаточно подробно. Материал книги почти в полном объеме по силам читателю, владеющему основными понятиями высшей математики в рамках программы вуза, включая, конечно, основные понятия теории вероятностей и элементы теории случайных процессов. По стилю изложения и его доступности книга напоминает изданную ранее книгу Г. Крамера и М. Лидбеттера «Стационарные случайные процессы» (М.: Мир, 1969).

В конце книги дана достаточно подробная библиография работ, связанных с теорией экстремальных значений. В русском переводе список пополнен работами, опубликованными уже послевыхода книги на английском языке, были включены в том числе и публикации советских исследователей, которые содержат существенные

результаты, но, по-видимому, остались неизвестными авторам книги (все дополнительные работы отмечены звездочкой). Прежде всего мне хочется отметить ряд результатов, полученных В. И. Питербаргом, который исследовал задачи о распределении максимумов случайных гауссовских процессов и полей. В частности, им найдены необходимые и достаточные условия асимптотической пуассоновости числа превышений растущего уровня значениями стационарной гауссовской последовательности. В. П. Питербарг получил эффективное уточнение предельной теоремы для распределения максимума. В отечественной литературе значительное внимание уделяется приложениям теории случайных процессов. Так, в книге В. И. Тихонова и В. И. Хименко «Выбросы траекторий случайных процессов» (М.: Наука, 1987) подробно рассмотрены примеры приложений некоторых результатов теории экстремальных значений.

Материал книги, конечно, не охватывает всего разнообразия возможных задач, связанных с экстремальными значениями. Не рассматриваются в ней задачи, связанные с экстремальными значениями случайных полей. Такие задачи возникают при исследовании многих физических проблем.

Перевод книги выполнен В. П. Носко, который подробно исследовал структуру высоких участков реализаций гауссовских случайных процессов и полей. Такие задачи непосредственно связаны с использованием экстремальных значений случайных процессов и полей.

В заключение хочу поблагодарить авторов книги профессоров Малькольма Росса Лидбеттера, Георга Линдгрена и Хольгера Ротсена, которые любезно прислали нам список замеченных опечаток. Авторы прислали также препринт обзорной статьи, публикуемой в журнале Annals of Probability, что помогло пополнить список литературы свежими работами (они также отмечены знаком).

Ю. К. Беляев

Предисловие

Возраст классической теории экстремальных значений — асимптотической теории распределений для максимумов независимых одинаково распределенных случайных величин — грубо можно оценить в полвека, хотя корни этой теории уходят в глубь веков. За этот последний период теория не только получила довольно полное развитие, но и нашла широкое применение; по-видимому, лучшее подтверждение этому — книга Э. Гумбеля «Статистика экстремальных значений».

Постепенно, начиная с работ Ватсона, Бермана, Лойнеса и Крамера, стал возрастать интерес к обобщению теории: к включению в нее сначала зависимых последовательностей, а затем и стационарных процессов с непрерывным параметром. На первых порах эта деятельность велась в двух направлениях — общая теория распространялась на некоторые зависимые последовательности (например, Ватсоном и Лойнесом), и параллельно закладывалась обстоятельная теория для стационарных нормальных последовательностей (Берман) и процессов с непрерывным параметром (Крамер).

В последние годы активно разрабатывались оба направления исследований. Была доказана возможность их объединения и построения достаточно полной и удовлетворительной теории по типу классической, содержащей в качестве частных случаев известные результаты для стационарных нормальных процессов. Основная цель настоящей работы состоит в изложении этой теории в возможно более полном и современном виде и в достаточно исчерпывающем обсуждении классического случая. Изложение, таким образом, унифицировано как в отношении классического и зависимого случаев, так и в отношении рассмотрения нормальных и более общих стационарных последовательностей и процессов.

Со свойствами экстремумов тесно связаны свойства превышений и выходов последовательностей и процессов с непрерывным временем за высокие уровни. Рассматривая такие превышения

и выходы как точечные процессы, можно получить весьма общие результаты, в которых доказывается сходимость к пуассоновскому и родственным ему точечным процессам. Отсюда вытекает целый ряд интересных результатов относительно асимптотического поведения амплитуды и расположения таких объектов исследования, как наибольший максимум (или, в непрерывном случае, локальный максимум). В книге проводится обсуждение этих и других связанных с ними вопросов, особенно для случая непрерывного параметра.

Книга состоит из четырех частей. Часть I посвящена достаточно исчерпывающему изложению основных результатов классической теории распределений экстремальных значений, группирующихся вокруг теоремы об экстремальных типах. Мы стремились изложить эти результаты непосредственно, используя относительно элементарные методы, и высветить те главные идеи, которые лежат в основе последующих обобщений теории на зависимый случай.

Часть II содержит элементарное обобщение классической теории на стационарные последовательности и некоторые важные нестационарные случаи. Ключевым моментом этого обобщения является надлежащее ограничение зависимости между далеко отстоящими друг от друга членами последовательности, при котором еще сохраняются классические пределы. Особое внимание уделяется нормальным последовательностям, доставляющим примеры, которые раскрывают значение тех или иных предположений.

В части III мы переходим к случаю непрерывного параметра. Здесь делается акцент на стационарные нормальные процессы, которые для большей ясности рассматриваются до изложения общей теории и ее основы — теоремы об экстремальных типах. Помимо теории экстремальных значений в этой части обсуждаются также свойства локальных максимумов, точечные процессы выходов, модели локального поведения и другие близкие вопросы.

Наконец, часть IV содержит конкретные применения теории к отдельным реальным ситуациям (и некоторые обобщения). Поскольку теория предсказывает главным образом такое же поведение экстремумов, как и в классическом случае, то нет особой пользы в том, чтобы представлять данные, которые просто хорошо иллюстрируют этот факт. Взамен мы попытались выделить типичные приложения и проблемы, возникающие при применении теории. Мы не занимались систематическим исследованием всех примеров, а отбирали главным образом те из них, которые затрагивают интересные аспекты и поднимают вопросы, требующие тщательного рассмотрения.

Многие из приводимых здесь результатов появлялись в том или ином виде в печати, но некоторые из них до сих пор не опубликованы. Большая часть этой работы вполне доступна читателю,

освоившему вводный курс теории вероятностей (без теории меры). Исключением, возможно, является материал, связанный со сходимостью точечных процессов (детали приведены в приложении), но нам представляется, что и с этим вопросом читатель будет в состоянии разобраться на достаточно хорошем интуитивном уровне.

Мы искренне рады выразить признательность Управлению военно-морских исследований США, Шведскому совету по естественно-научным исследованиям и Шведскому институту прикладной математики за финансирование значительной части исследований, приведших к появлению книги. Мы также весьма благодарны д-рам Жаку де Маре и Жану Ланке за их помощь и предложения по различным аспектам этого проекта и д-ру Олаву Калленбергу за его разъяснения. Мы благодарим всех прочитавших эту книгу, включая Дж. Кастелану, Б. Коллингза, Р. Фриммела, Н. Герра, П. Хаугарда, Д. Кикути, И. Маккига, Э. Мерфри и И. Сковгарда, за их предложения по улучшению ясности изложения; Рут Бар, Аниту Бергдаль, Бетти Блейк, Дагмар Иенсен, Ингалил Карлссон, Энн Морен, Беатрис Туму и Ингрид Вестерберг за великолепную перепечатку этой книги и ее первоначальных рукописных вариантов, а также Стена Линдгрена за подготовку нескольких рисунков.