7.5. Маркированные пересечения

Материал оставшейся части этой главы не будет использоваться вплоть до гл. 9 и следующих за ней глав. При желании читатель может перейти непосредственно к гл. 8, возвратившись к этому разделу, когда это понадобится.

Рассмотрим ситуации, когда мы регистрируем не только момент выхода, но также и значение какой-нибудь другой случайной величины, связанной с этим выходом. Мы можем, например, интересоваться значениями производной в точках выходов за уровень и или значениями в точках входов

производной под нулевой уровень, т. е. в точках, где имеет локальный максимум. Мы будем говорить о них как о маркированных пересечениях и рассматривать, скажем как метки (или марки), приписываемые пересечениям в точках Изложим здесь методы работы с такими метками, подобные тем, которые привели нас к формуле Райса (хотя и несколько более сложные).

Через будем обозначать совместно стационарные процессы, имеющие непрерывные выборочные функции, и рассмотрим пересечения уровня процессом маркированные посредством В приведенных выше примерах в качестве выступали бы соответственно а в качестве соответственно Пусть выходы процесса за уровень и, и пусть для произвольного интервала величина равна числу таких в I, для которых Мы будем писать Обозначения будут иметь тот же смысл, что и прежде, например Определим, далее,

Лемма 7.5.1. Пусть I — ограниченный интервал, при и пусть число таких точек вида для которых

Тогда

(i) если А — открытый интервал, то

(ii) если для каждого

то для любого интервала А

(iii) если А — открытый интервал, то

и если выполнено (7.5.1) и то

и для

Доказательство, (i) Предположим, что и что имеет выходы за уровень и в точках принадлежащих внутренности интервала и при этом непрерывности распределения в концевых точках интервала выходов нет.) Поскольку выборочные функции непрерывны, а интервал открытый, можем окружить указанные точки непересекающимися подынтервалами из в которых Отсюда, как и в доказательстве леммы 7.2.2 (ii), следует, что

Предположим сначала, что и пусть такие же, как и в Если внутренность интервала то в силу не могут равняться ни а ни так что и мы поэтому можем взять непересекающиеся интервалы в которых Введем обозначение для множества таких для которых и принадлежат для некоторого и -для множества таких для которых принадлежат но Ясно, что является единственным выходом за уровень и для следовательно, по лемме

где

Кроме того, если

то для произвольно больших существуют следовательно, такая последовательность целых чисел что Из непрерывности следует, что и поэтому, согласно (7.5.1), Итак, при для некоторого которое можно взять столь малым, чтобы Далее, для достаточно больших величины и принадлежат Следовательно, по лемме имеет выход за уровень и в что противоречит предположению Это показывает, что

а это вместе с (7.5.2) доказывает, что п. н. Поскольку к тому же из (7.5.1) вытекает, что то часть (i) дает

Поэтому н., как и утверждалось. Если то искомое заключение вытекает из части (i) с заменой А на поскольку согласно (7.5.1).

(iii) Первое заключение сразу вытекает из леммы Фату и части (i), в то время как из части (ii) следует, что поскольку по предположению. Далее, если то существует приблизительно точек так что

Поскольку последовательность произвольна, отсюда получаем последнее утверждение в (iii).

Мы вычислим теперь предал для в случае, когда совместно нормальные процессы с нулевыми средними. Пусть обозначает ковариационную функцию процесса Как отмечалось ранее, если процесс дифференцируем в среднем квадратичном, случайные величины независимы при каждом и нормальны, а их совместная плотность равна

Кроме того, можно показать, что три процесса совместно нормальны и что их ковариации и взаимные ковариации могут быть получены как пределы, например

Мы можем определить также условные распределения, используя отношения функций плотности, когда они существуют. Например, для измеримого множества А мы определяем

где функция плотности случайных величин В последующем условные вероятности всегда будут пониматься определенными именно таким образом.

Лемма 7.5.2. Пусть такие совместно нормальные процессы с нулевыми средними, что с. в. имеют невырожденное распределение. Предположим, кроме того, что имеет непрерывные выборочные функции и что дифференцируем в среднем квадратичном. Тогда для любого измеримого множества А и любого и

Доказательство. Обозначим и введем, как и в теореме 7.3.1, независимые нормальные с. в. с дисперсиями Заметим, что

Чтобы найти предел условной нормальной вероятности

при заметим, что, поскольку совместно нормальные процессы, условное распределение с. в. при заданных значениях также нормальное и имеет среднее

и дисперсию

см., например, Рао (1973, с. 467).

Поскольку в среднем квадратичном при отсюда следует, что при Поскольку к тому же невырождены по предположению мы имеем

Обозначая имеем

и поэтому мажорированная сходимость дает нам, что для всех

при Опять из мажорированной сходимости следует, что

что в силу (7.5.3) и является заключением леммы.