14.2. Влияние размеров на распределения экстремальных значений

Условия (i)-(iii), введенные в разд. 14.1, утверждают, что прочность образца материала определяется его слабейшими точками, имеющими случайную прочность и разбросанными внутри материала случайным образом. В совокупности с условием

устойчивости (iv) это ведет к характеризации возможных распределений прочности как трех типов экстремальных распределений для минимумов. Простым следствием этих условий является то, что прочность убывает определенным образом с возрастанием размера испытуемого образца. Мы приведем здесь иллюстрирующий это пример, а также покажем, как на основании наблюдаемого отклонения от соответствующего простого закона убывания можно делать предположения о возможном нарушении одного или обоих условий (ii) и (iii). Хартер (1977) приводит широкое обсуждение литературы по масштабным эффектам, начиная с самых ранних лет. Библиографическая часть работы Хартера опубликована отдельно, см. Хартер (1978).

Если выполнены условия (i)-(iv), то прочности образца длины есть

Таким образом, поскольку устойчива относительно минимума, нетрудно получить соотношение между размером и параметрами распределения, такими, как средняя прочность и стандартное отклонение.

Например, если и обозначить а то является двойным экспоненциальным распределением с параметрами масштаба и положения и тогда

так что является двойным экспоненциальным распределением с параметрами

Отсюда мы можем найти влияние размера на другие параметры, такие, как средняя прочность и стандартное отклонение Поскольку в стандартизированном случае с эти параметры равны (где — постоянная Эйлера, равная приближенно 0,577) то в общем случае

Подобные вычисления могут быть выполнены и для распределений типа II и типа III. В табл. 14.2.1 приведены выражения для параметров положения и масштаба, а также для среднего и стандартного отклонения как функций от длины I испытываемого образца

(выраженных с помощью гамма-функции Для полноты в таблицу включены все три типа распределений, хотя ф. р. типа III обычно не используются в качестве распределения прочности.

Пример 14.2.1 (влияние размера на прочность бумажных полос). Бумажная полоса разрывается, если она подвергается растяжению, превосходящему прочность в ее слабейшей точке. Мы рассмотрим здесь среднюю прочность бумажных полос (постоянной ширины), имеющих длину, изменяющуюся от 8 см до

Если эксперимент выполняется несколько раз с полосами различной длины, то можно проверить согласие распределений экстремальных значений с предсказанной зависимостью средней прочности от длины Рисунки 14.2.1 и 14.2.2 показывают наблюдаемые средние значения (измеренные в единицах (кило-ньютон) на метр ширины бумаги), полученные в экспериментах с бумажными полосами ширины 5 см, вычерченные в двух различных масштабах, выбранных таким образом, что и распределение типа I (рис. 14.2.1) и распределение типа II (рис. 14.2.2) должны давать для прямую линию.

Таблица 14.2.1 (см. скан)

Рис. 14.2.1. Средняя прочность на разрыв бумажных полос переменной длины. В выбранном масштабе распределения типа I представляются прямыми линиями.

Рис. 14.2.2. Средняя прочность на разрыв бумажных полос переменной длины. В выбранном масштабе распределения типа III представляются прямыми линиями.

Испытывались два типа бумаги различного качества, причем для одного из них были проведены три серии экспериментов. Как видно из диаграмм, средняя прочность явно убывает с увеличением длины. Однако по этим наблюдениям нельзя убедительно сказать о том, какое именно распределение наилучшим образом согласуется с ними. Мы признательны доктору Бенту Холлбергу и Шведской акционерной компании Svenska Cellulosa Aktiebolaget, SCA, за возможность использования этих данных.

Указанную теорию не составит труда обобщить на случай более чем одного измерения и описать влияние площади и объема на прочность материалов.

Кратко рассмотрим теперь возможность обращения с нехрупкими, неоднородными и (или) слабо связанными материалами, для которых не выполняется какое-либо или несколько из условий (i)-(iii). Как упоминалось ранее, условие устойчивости относительно размера (iv) нельзя отбросить полностью, поскольку тогда было бы применимо любое распределение прочности.

Если материал (стохастически) не хрупок, то его прочность в целом не равна прочности его слабейшей точки.

В этом случае возможен ряд различных моделей прочности. Если бы, например, в пучке параллельных волокон суммарная нагрузка была распределена между отдельными волокнами пропорционально их индивидуальным прочностям, то результирующая прочность была равна сумме прочностей волокон, что приводит к нормальному распределению результирующей прочности со средним, пропорциональным числу волокон. К асимптотически нормальному распределению для результирующей прочности приводит также ситуация, в которой суммарная нагрузка распределяется равномерно между оставшимися, неразрушившимися частями материала и разрушение этих частей происходит, когда их прочность оказывается меньшей, чем приходящаяся на их долю часть общей нагрузки; см., например, Смит (1980) и указанную там литературу.

В стохастически неоднородном материале распределение прочности малого образца материала изменяется с его положением. Однако если выполнены условия (i), (iii) и (iv), то при достаточно естественных условиях на неоднородность еще можно получить одно из экстремальных значений. Один простой тип неоднородности получается, когда размер материала выражается не как физическое его измерение, а посредством интеграла от положительной функции локального размера, как будет сейчас описано.

Пусть неотрицательная интегрируемая функция, и для определим

Пусть непересекающиеся части как и прежде, обозначают прочности отдельных образцов.

Материал называется стохастически

(ii) неоднородным с функцией размера К, если маргинальные распределения с. в. зависят только от величин определенных соотношением (14.2.2).

Предположим теперь, что материал удовлетворяет условиям и пусть прочности образца с

Тогда легко видеть, что (14.1.4) и (14.1.2) еще остаются в силе, так что устойчива относительно минимума и имеет один из трех экстремальных типов для минимумов. Используя в качестве параметров в мы имеем в вейбулловском и двойном экспоненциальном случаях

соответственно.

Отправляясь от указанной функции локального размера можно легко вывести явные выражения для параметров положения и масштаба в распределении прочности для образца имеющего размер которое равно указанными в таблице 14.2.1. Чтобы получить эти выражения, определим функции как

и

Мы можем тогда записать ф. р. минимальной прочности образца как

соответственно. Эти формулы побуждают нас использовать в качестве «локальных» функций масштаба и положения в стандартных моделях экстремумов.

Средняя прочность задается в указанных двух случаях соотношениями

Наиболее интересное обобщение свойств (i)- (iv) с точки зрения, принятой в этой книге, относится к (слабо) связанным материалам, в которых существует зависимость между прочностями отдельных частей материала. Однако это ведет к таким распределениям прочности, которые не обязательно принадлежат какому-нибудь из экстремальных типов для любого конечного испытываемого размера, хотя они могут становится таковыми асимптотически, с возрастанием размера, при естественных условиях, таких как в гл. 13.

Пусть локальные параметры прочности (14.2.3), или являются недетерминированными функциями, а случайными процессами с распределением, зависящим от нерегулярности и степени связанности материала. Тогда и в (14.2.4) являются случайными величинами с ф. р., скажем и и если мы возьмем (14.2.5) в качестве определения условной ф. p. при заданном или то

или

соответственно. Кроме того, прочности непересекающихся образцов будут зависимыми через значения процессов и Средняя прочность будет равна

Понятие случайной локальной прочности, усредняемой по случайному параметру положения в заданной соотношением (14.2.6), формально до некоторой степени аналогично «случаю строгой зависимости» для максимумов нормальных последовательностей, изучавшемуся в разд. 6.4 и 6.5, в котором прежде, чем получить двойной экспоненциальный закон, надо было вычесть медленно меняющийся средний уровень; см. формулу (14.2.6) со смешанным двойным экспоненциальным пределом для максимумов в следствии 6.5.2.

Пример 14.2.2. В экспериментах было замечено, что средняя прочность не всегда убывает с возрастанием длины так, как в каком-либо из случаев из таблицы 14.2.1, а может уменьшаться со скоростями, изменяющимися для различных длин. Например, прочность, стекловолокна, по-видимому, убывает более быстро после того, как его длина превзойдет некоторый предел.

Некоторые авторы, например Меткалф и Смитц (1964), объясняют это, постулируя, что слабые точки таких волокон образуют определенные полустохастическне структуры и что они имеют тенденцию образовывать кластеры с равномерными промежутками между ними. Это можно очевидным образом моделировать с помощью случайных параметров прочности и описанных выше.