13.5. Процессы с конечными интенсивностями выходов

Мы покажем теперь, как некоторые из условий, нужных для общей теории, можно упростить, если среднее число и выходов за каждый уровень и в единицу времени конечно. Сюда включаются частные случаи нормальных процессов с конечными вторыми спектральными моментами, уже охваченные в гл. 8, но, разумеется, не включаются «недифференцируемые» процессы

В дополнение к обозначениям настоящей главы мы используем обозначения гл. 7 и предполагаем, что для каждого значения и. Обозначим, как и в (7.2.1), для

Ясно, что

и из леммы 7.2.2 (iii) следует, что

для каждого фиксированного и.

В нормальном случае мы видели (лемма 7.3.1), что если таким образом, что Здесь мы воспользуемся вариантом этого свойства, предполагая по необходимости, что для каждого существуют такие константы при и что

где при указывается ниже, легко проверить, что это верно в случае, если процесс нормальный, когда мы можем взять Мы будем предполагать по необходимости, что

Это условие, очевидно, выполняется в нормальном случае. Однако, более общим образом, оно, как нетрудно убедиться, выполнено и тогда, когда, например, для некоторого при и

Действительно, из (13.5.6) вытекает, что откуда следует, что и поэтому (13.5.5) выполняется, так как

Условия (13.1.8) и (13.1.9) мы можем выразить теперь в другом виде, используя функцию и отождествляя ее с

Лемма 13.5.1. (i) Предположим, что для каждого и что выполнено условие (13.5.5) (или достаточное условие (13.5.6). Тогда (13.1.8) выполняется с Если (13.5.4) выполняется для некоторого семейства то выполняется и (13.1.11) с

Доказательство. Поскольку очевидно, что

то из (13.5.5) сразу следует (13.1.8), что и доказывает (i). Далее, если выполнено (13.5.4), то

так что

что стремится к нулю при давая (13.1.11).

Ввиду этой леммы, теорема об экстремальных типах применима теперь к процессам такого рода с использованием более просто проверяемых условий (13.5.4) и (13.5.5).

Теорема 13.5.2. Теорема 13.1.5 сохраняет силу для стационарного процесса для каждого и, если условия (13.1.6) и (13.1.10) заменить условиями (13.5.4) и (13.5.5) (или (13.5.4) и (13.5.6)).

Доказательство. Согласно части (i) предыдущей леммы, условие (13.5.5) (или достаточное для его выполнения условие (13.5.6)) влечет за собой выполнение условия (13.1.8), а следовательно, обоих условий (13.1.6) и (13.1.7). С другой стороны, часть (ii) этой леммы показывает, что из (13.5.4) вытекает условие (13.1.11), которое вместе с (13.1.7), в силу леммы 13.1.3 (iii), гарантирует выполнение (13.1.10).

Условие (13.1.10) появляется также и в теореме 13.2.3, и его, очевидно, там можно заменить условием (13.5.4), поскольку (13.1.7) вытекает из условия (13.1.9), которое предполагается выполненным в этой теореме.

Отметим, наконец, что, в то время как условия (13.5.5) и (13.5.6) особенно удобны для получения (13.1.8) (лемма 13.5.1 (i)), проверка условия (13.1.9) требует еще получения соотношения

Последнее, разумеется, выполняется для всех нормальных процессов, охватываемых теоремой 12.2.9 с В случае существует ряд независимых более простых выводов этого результата, один из которых проводится по типу сравнения с «косинус-процессом» в гл. 7. Фактическое сравнение, там использованное, приводит к более слабому результату, который тем не менее достаточен для построения применявшимися методами желаемой предельной теории.