15.4. Экстраполирование экстремумов на более обширный период времени

Предположим, что -стационарный процесс с непрерывным временем, для которого максимум притягивается к двойному экспоненциальному распределению, так что для некоторых

и мы хотим использовать знание для некоторого и произвести «экстраполяцию» распределения для некоторого фиксированного целого п. Если велико, то мы можем ожидать, что максимумы на интервалах приблизительно независимы, так что

и поэтому мы должны иметь

в качестве возможного выбора параметров положения и масштаба для максимума по расширенному интервалу времени; см. обсуждение влияния размеров при испытании на прочность в разд. 14.2.

Эти соотношения выполняются всякий раз, когда принадлежит области притяжения двойного экспоненциального закона. Для дифференцируемого нормального процесса по теореме 8.2.7

где что при дает

что согласуется, как и следовало ожидать, с (15.4.2) с точностью до членов меньшего порядка.

Однако указанные параметры масштаба и положения зависят от масштаба времени, выбранного для представления процесса, в такой степени, что это может иногда служить источником недоразумений. Если изменить единицы масштаба в (15.4.1) и (15.4.3), заменяя на то это приведет к замене на и замене на и аппроксимация (15.4.1) станет другой. Конечно, каков бы ни был масштаб времени, для максимума имеется точное предельное распределение. Проблема состоит в том, что ошибка при использовании (15.4.1) для конечных интервалов зависит от масштаба времени.

Один естественный способ подсчета времени, который часто используется, состоит в выражении его в единицах расстояния между пересечениями нулевого уровня или средней длины периода между нулями. Пусть (в предположении, что

есть среднее число выходов за нулевой уровень в (старую) единицу времени. Введем новый масштаб времени который подсчитывает время в единицах ожидаемого числа выходов за нулевой уровень. Тогда так что (стандартизованная) аппроксимация должна иметь вид

Рис. 15.4.1. Наблюдаемые значения дневных максимумов среднечасовой концентрации в Лонг Бич, Калифорния, 1979 г.

с совпадающими параметрами масштаба и положения

Аппроксимирующее распределение имеет среднее и стандартное отклонение

Пример 15.4.1 (экстремумы в данных о выбросах в атмосферу). Федеральный стандарт Соединенных Штатов по кратковременным выбросам в атмосферу требует в отношении диоксида серы чтобы усредненная на периоде в 3 часа концентрация не превосходила (50 частей на сто миллионов) более одного раза в год. Чтобы увидеть, можно ли это выполнить, мы обсудим данные за 19 лет наблюдений среднечасовых концентраций в Лонг Бич, Калифорния (взятые у Робертса (1979 Ь)). Ясно, что трехчасовые средние имеют менее выраженные экстремумы, чем среднечасовые, так что эта процедура определенно не переоценит частоты превышений.

На рис. 15.4.1 показаны дневные максимумы часовых средних для каждого из 365 дней 1979 года.

Как видно на диаграмме, данные явно коррелированы. Более того, из полного набора данных за 1956-1974 гг., приведенного в табл. 15.4.1, видно, что наибольшие значения концентрируются в зимнем периоде, так что в действительности мы имеем здесь пример нестационарной коррелированной последовательности.

Функция распределения концентрации загрязнителей атмосферы изучалась и описывалась многими авторами, и

Таблица 15.4.1 (см. скан)

представляется, что приемлемое согласие дает логарифмически нормальное распределение, по крайней мере в центральной части этого распределения. Логарифмически нормальное распределение принадлежит области притяжения распределения типа I (см. пример 1.7.4), и мы попытаемся подобрать к данным об экстремумах в табл. 15.4.1 двойное экспоненциальное распределение. Разумеется, хорошее согласие с логарифмически нормальным распределением в центре распределения еще не гарантирует того, что это распределение будет работать хорошо.

На рис. 15.4.2 показаны эмпирические функции распределения 19 годовых и месячных максимумов, нанесенные на двойной экспоненциальной вероятностной бумаге. Следует отметить, что теория гл. 3 и 13 могла бы быть применена к этим коррелированным наблюдениям, и тогда эти наблюдения дали бы приемлемый график на соответствующей вероятностной бумаге. Однако нестационарность, а возможно также и зависимость от месяца к месяцу, влияют на выбор параметров масштаба и положения в приближенной формуле (15.4.1), и это сейчас будет показано.

Предполагая двойное экспоненциальное распределение для (по месяцам) и годам) мы можем оценить параметры, например методом максимального правдоподобия. Роберте (1979а, которого заимствован полный набор данных, использовал один из вариантов метода наименьших квадратов и получил в качестве оценок распределений

Оценка вероятности того, что одночасовые средние превзойдут хотя бы один раз в году, равна

в то время как наблюдаемая частота равна . Это следует сравнить с (15.4.2), откуда следует ожидать, что

Использование для оценивания вероятности превышения уровня в течение года дало бы тогда

Соответственно оцененная ф. р. для Мгод представлена на рис. 15.4.2 пунктирной линией.

Как видно из рис. 15.4.2, положение экстраполированного распределения достаточно хорошо согласуется с положением но в то же время более сконцентрировано, так что вероятность очень высокого или очень низкого годового максимума окажется недооцененной. Не ясно, вызвано ли это нестационарностью или сильной корреляцией (или обеими этими причинами), но очевидно, что в пределах отдельных лет имеется несколько отрезков очень низких или очень высоких значений и что высокий годовой максимум имеет тенденцию сопровождаться несколькими высокими месячными максимумами этого года.

Как было видно в гл. 6, в случае нормальных последовательностей «стационарная» теория еще остается применимой к последовательностям, имеющим нестационарное среднее или нестационарную корреляционную структуру, при условии что параметр положения подгоняется адекватным образом, а корреляции обнаруживают стандартное -убывание с течением времени.

Пример 15.4.2 (нестационарные данные о концентрации озона). Горовиц (1980) применил теорию экстремальных значений к коррелированным нестационарным данным о концентрации озона. Предполагая, что максимальные дневные среднечасовые

Рис. 15.4.2. (см. скан) Эмпирические распределения месячных (крестики) и годовых (кружки) максимумов за период с 1956 по 1974 г. в Лонг Бич. Сплошные линии соответствуют двойным экспоненциальным распределениям, пунктирная линия — функции распределения годового максимума, экстраполируемой по месячным максимумам.

концентрации логарифмически нормальны, он предусмотрел изменение функции среднего значения в течение года, считая, что остатки являются при этом коррелированными случайными величинами с нулевыми средними и одинаковой дисперсией Нормируя среднее в единицах о, мы получаем модель

в которой для подбирается многочлен второй степени, а предполагаются коррелированными стандартными нормальными величинами. Как показывает рис. 15.4.3, здесь, очевидно, необходима модель с зависимостью от времени, и модель (15.4.5) по крайней мере дает хорошее согласие для маргинального распределения

В соответствии с теоремой 6.2.1, при естественных условиях на функцию можно тогда записать, что

Рис. 15.4.3. Наблюдаемые дневные максимумы среднечасовой концентр гиги

где определяется соотношением (6.2.2). Обозначая имеем

и поэтому для больших

Это находится в разительном контрасте с тем экстремальным распределением, которое наблюдалось бы для годовых максимумов последовательности (зависимых) одинаково распределенных величин, каждая из которых имела бы маргинальное распределение, равное наблюдаемому «объединенному» распределению 365 ежедневных значений, не учитывающему нестационарность среднего.

Следует отметить, что применение нормальной теории экстремальных значений к этой нестационарной ситуации не ограничивается предположением стационарности корреляционной структуры, на что указывают результаты разд. 6.2-6.3.