4.6. Скорость сходимости

Как мы видели в разд. 2.4, для независимых стандартных нормальных с. в. сходимость последовательности весьма медленна, если например В частности, она имеет порядок если выбираются, как в теореме 1.5.3, и имеет порядок если используются «наилучшие» Конечно, и в зависимом случае не следует ожидать более быстрой сходимости. Действительно, доказательство теоремы 4.3.3 по существу определяется, во-первых, сравнением и последующим использованием предельной теоремы для независимых нормальных величин для доказательства того, что где Мы покажем теперь, что если сумма не возрастает слишком быстро, то ошибка от замены на

стремится к нулю как некоторая степень от . Отсюда немедленно вытекает, что скорость сходимости определяется качеством аппроксимации посредством следовательно, является точно такой же, как и в независимом случае.

В то же время, поскольку легке вычисляется с высокой точностью, граница для величины которую мы выведем, представляет значительный интерес и сама по себе. Она показывает, что вероятность для максимума зависимых случайных величин может быть аппроксимирована с достаточной точностью.

В качестве отправной точки для указанного оценивания мы используем соотношение (4.2.4), приспособленное для случая и поэтому что приводит к равенству

Здесь функция получается из функции плотности нормальных с. в., имеющих нулевые средние, единичные дисперсии и ковариации если положить в этой плотности переменные и проинтегрировать ее по остальным переменным в пределах Полезно записать это выражение в несколько ином виде. Пусть

— значение стандартной двумерной нормальной плотности в точке и пусть

— условная плотность, получаемая при приравнивании и значений переменных во введенной выше -мерной нормальной плотности. Тогда (4.6.1) можно переписать в виде

Очевидно, что

где правое неравенство было одним из главных моментов доказательства теоремы 4.2.1.

Прежде чем переходить к оцениванию, введем некоторые обозначения и постоянные, которые будем использовать в дальнейшем. Эти постоянные имеют весьма сложный вид, и их можно было бы легко упростить, воспользовавшись менее точными аппроксимациями, однако это сделало бы их менее подходящими для вычислений. Положим и для случая пусть обозначает количество таких значений для которых Всюду в этом разделе мы будем без дополнительных оговорок предполагать, что указанная верхняя граница достигается, так что В частности, так будет в случае, когда при и при этом также Если то будет обозначать количество ненулевых Чтобы получить члены второго порядка, определим как супремум по таких которые удовлетворяют неравенству если эта величина положительна, и положим в противном случае, и пусть

Далее, определим

и положим

Основной множитель в выводимых нами границах имеет различный вид в случаях, когда или и к тому же зависит от некоторой постоянной К, которая будет введена ниже. Определим

Здесь

а равно нулю для и

для причем

и означает суммирование по всем таким из множества для которых

Лемма 4.6.1. Пусть и предположим, что и пусть определяются соотношениями (4.6.5). Тогда

Предположим далее, что 1. Тогда 1

и если для некоторого то 1

Доказательство. Интегрируя по частям, получаем

Второе неравенство в (i) сразу вытекает отсюда, поскольку последний интеграл в (4.6.9) положителен. Кроме того, как легко проверить,

и поэтому

Подставляя (4.6.10) в (4.6.9), получаем

что и доказывает первое неравенство в (i).

Для доказательства (ii) мы используем неравенства

для Таким образом, если то, согласно части (i),

и аналогично для

следовательно, (ii) выполняется в любом случае. Наконец, для и I из (4.6. II) сразу следует

что и доказывает (iii).

Теперь легко получается и основная лемма. Мы рассмотрим только ограниченный интервал значений и (который может быть даже пустым при малых Остальной интервал интересующих нас значений и исследовать проще, как показано ниже в доказательстве теоремы 4.6.3,

Лемма 4.6.2. Предположим, что для некоторой постоянной

и что Тогда

где определяется соотношениями (4.6.6) и для указанных там отдельных случаев.

Доказательство. Прежде всего, согласно (4.6.11) и (4.6.12),

т. е.

Предположим теперь, что Используя лемму для оценки слагаемых с и леммы для остальных слагаемых, получаем

где обозначает суммирование по всем таким из для которых Поскольку по предположению и в силу (4.6.14), то

и

Подставляя это в (4.6.15), получаем для и того же С, что и в (4.6.8),

Сравнение с (4.6.6) доказывает (4.6.13) для случая

Далее, предположим, что так что, согласно лемме 4.6.1 (ii),

что показывает справедливость (4.6.13) и в этом случае.

Предположим, наконец, что Тогда, используя лемму 4.6.1 (iii), путем аналогичных вычислений находим, что

что доказывает (4.6.13) в случае

Скорость сходимости к нулю разности легко вытекает теперь из (4.6.2), (4.6.3) и леммы 4.6.2. Для получения эффективных границ мы, как и в лемме 4.6.2, ограничим область изменения требуя, чтобы для некоторого фиксированного что равносильно условию и где решение уравнения соответствии с теоремой 1.5.1 отсюда вытекает, что если максимум первых членов независимой стандартной нормальной последовательности, то

и обратно, если удовлетворяет (4.6.16), то Более того, если то та же равносильность, конечно, сохраняется и при замене на

Таким образом, поскольку границы для скорости сходимости будут выводиться для и они будут применимы к верхней части интервала изменения вероятности так что взяв К большим, мы покрываем сколь угодно большую часть этого интервала в качестве компенсации за невысокое качество оценки.

Теорема 4.6.3. Пусть — (стандартизованная) стационарная нормальная последовательность, и выполняется (4.6.12), т. е.

для некоторой постоянной К, с Тогда

задаваемым соотношением (4.6.6). В более явном виде, для если или и число тех для которых конечно, то

где даются формулами (4.6.7), (4.6.8). Если то

где задается формулой (4.6.7). Доказательство. В силу (4.6.2) и (4.6.3)

и из леммы 4.6.2 вытекает, что (4.6.17) выполняется всех и, удовлетворяющих (4.6.12) и неравенству

Чтобы завершить доказательство, покажем, что (4.6.17) вполне тривиальным образом выполняется и для Действительно, в силу неравенства Буля

Поскольку то для

получаем, что

и поэтому, согласно (4.6.18),

что достигается непосредственным вычислением.

Таким образом, согласно теореме, если или и сумма растет не слишком быстро, то порядок скорости сходимости не меньше, чем

Этот порядок является правильным, по крайней мере если последовательность является -зависимой. Действительно, если для где некоторое положительное число, и то при

а при

см. Ротсен (1982). Сравнивая (4.6.19) и (4.6.20) с границами, указанными в теореме 4.6.3, видим, что если или то эти границы асимптотически слишком велики, а именно завышены в раз. Здесь множитель 4 связан с неточностями в оценках (4.6.11) и (4.6.14) и легко может быть уменьшен путем дальнейшего сужения интервала изменения и, а множитель связан с оценкой (4.6.3).

Если то граница, указываемая теоремой 4.6.3, имеет порядок

Кажется маловероятным, что это точный порядок, однако потери не представляются существенными, поскольку скорость сходимости, очевидно, вообще не может быть лучше, чем

Наконец, как упоминалось ранее, простым следствием доказанной теоремы является то, что сходимость к предельному двойному экспоненциальному распределению здесь столь же медленна, как и в случае независимой нормальной последовательности. Например, если заданы соотношениями (2.4.9), (2.4.10), то при соответствующих условиях на рост суммы

и порядок сходимости не может быть улучшен ни при каком другом выборе констант В частности, если

то аппроксимация имеет вид

Читатель может найти в работе Ротсена (1982) точное условие на сумму доказательства этих утверждений и дальнейшие аспекты скорости сходимости экстремумов стационарных гауссовских последовательностей.