5.3. Асимптотическое распределение k-x наибольших значений

Из следствия 5.2.2 теперь могут быть легко получены следующие результаты, обобщающие утверждения теорем 2.2.1 и 2.2.2.

Теорема 5.3.1. Пусть обозначает наибольшее из где фиксированное целое число. Пусть числовая последовательность, и предположим, что выполняются условия Если (3.4.2) выполняется для некоторого фиксированного конечного то

Обратно, если (5.3.1) выполняется для некоторого целого то выполняется и (3.4.2), и поэтому (5.3.1) выполняется для всех

Доказательство. Как и ранее, отождествляем событие с событием, состоящим в том, что не более чем из превышают т. е. с событием так что

Если (3.4.2) выполнено, то предел в правой части (5.3.1) сразу вытекает из следствия (5.2.2).

Обратно, если (5.3.1) выполнено, а (3.4.2) не выполняется, то найдется некоторое и такая последовательность что Анализ доказательства теоремы 5.2.1 (см. также замечание в конце разд. 3.4) показывает, что если (3.4.2) предполагать выполненным не для всех а только для последовательности то имеет пуассоновский предел. Если то, заменяя в приведенном доказательстве на получаем

Но это противоречит (5.3.1), поскольку функция строго убывает в точках Таким образом, невозможно. Но также невозможно, так как иначе мы,

подобно (3.4.4), получили бы неравенство

Правая часть должна быть отрицательной для больших в силу конечности вытекающей из по крайней мере для надлежащим образом выбранных больших значений Отсюда вытекает справедливость (3.4.2), что и утверждалось.

Случай этой теоремы есть в точности теорема 3.4.1. Конечно, теорема 3.4.1 использовалась при доказательстве теоремы 5.2.1, а следовательно, и теоремы 5.3.1. Приводимое ниже следствие покрывает случай

Следствие 5.3.2. Предположим, что для каждого достаточно большого х существует последовательность удовлетворяющая условиям и такая, что Если для последовательности выполняется соотношение то для всех

Обратно, если для некоторого то для всех Доказательство. Если выбирается так, как указано выше, то, согласно теореме Но очевидно, что для всех достаточно больших так что

Поскольку это выполняется для произвольно большого имеем как и утверждается.

Обратно, если для некоторого то, поскольку отсюда следует, что так что в силу следствия 3.4.2.

Верно также очевидное следствие.

Следствие 5.3.3. Теорема 5.3.1 сохраняет силу, если предположение (или заключение) о том, что удовлетворяет (3.4.2), заменить любым из следующих предположений (заключений):

как и обычно, обозначает максимум для сопровождающей независимой последовательности). Соответственно предположение

(или заключение) в следствии 5.3.2 можно заменить или на или на

Доказательство. Утверждения, касающиеся теоремы 5.3.1, сразу вытекают из теорем 3.4.1 и 1.5.1. Утверждения, касающиеся следствия 5.3.2, вытекают из следствия 3.4.2 и теоремы 1.5.1.

Теорема 5.3.4. Пусть числа определены для невырожденная ф. р., и предположим, что условия выполняются для всех Если

то для каждого

где (предел равен нулю, если

Обратно, если (5.3.4) выполняется для некоторого то выполняется и (5.3.3), и поэтому (5.3.4) выполняется для всех Кроме того, результат остается в силе, если в (5.3.3) заменить на

Доказательство. Для результат вытекает из первой части следствия 5.3.3 с Случай вытекал бы из второй части следствия 5.3.3, если бы можно было показать, что для каждого достаточно большого существует последовательность удовлетворяющая условиям и такая, что Но поскольку непрерывна (как ф. р. экстремального значения), то существует такое что откуда легко видеть, что является подходящим выбором для .