1.6. Общая теория областей притяжения

Конечно, важно знать, какой именно (если хотя бы какой-то) из трех типов предельных законов применим, когда каждая с. в. имеет заданную ф. p. F. Для каждого типа известны необходимые и достаточные условия, относящиеся к «поведению хвоста» при возрастании х. Мы сформулируем эти условия и докажем их достаточность, опуская доказательства необходимости, поскольку, как уже отмечалось, последние довольно длинны и не являются нашей основной целью. Соответствующие доказательства можно найти, например, в работах Гнеденко (1943) или де Хана (1976).

Прежде чем сформулировать общие теоремы, приведем несколько очень простых и полезных достаточных условий, применимых в случае, когда ф. p. F имеет плотность Эти условия принадлежат Мизесу, а их простые доказательства приведены в работе де Хана (1976). Мы воспроизведем в качестве образца только одно из этих доказательств, отсылая читателя за деталями других доказательств к указанной работе.

Теорема 1.6.1. Предположим, что ф. p. F н. о. р. случайных величин, образующих последовательность абсолютно непрерывна и имеет плотность Тогда приводимые ниже условия

являются достаточными для того, чтобы ф. p. F принадлежала соответствующей области притяжения:

Тип I: f имеет отрицательную производную для всех х в некотором интервале

Тип II: для всех конечных и

Тип III: для всех х в некотором конечном интервале для и

Доказательство для типа II. Как уже отмечалось, полные доказательства можно найти в работе де Хана (1976), и мы приведем здесь в качестве образца только доказательство для случая типа II. Предположим, что где для Обозначая мы немедленно получаем, что для

так что

Ясно, что существует такое что и (обозначая или, наоборот, соответственно тому, будет ли или мы получаем

а эта величина, поскольку сходится к при Поэтому для силу теоремы 1.5.1

Для в силу того, что для мы убеждаемся, полагая что Следовательно, реализуется предел типа II с нормализующими константами

Приведенное доказательство для случая типа II опиралось на существование такой последовательности Для которой и нормализующие константы в соотношении были получены в терминах (В этом случае мы имели случае произвольной ф. p. F такое не обязательно существует. Однако если для какого-то из распределений экстремальных значений, то с указанным свойством может быть найдено. Действительно, если

то в силу непрерывности можно подобрать такое х, что так что

Поэтому согласно теореме 1.5.1.

Общие критерии, достаточность которых мы собираемся доказывать, также используют существование такого и это будет вытекать в каждом конкретном случае из сделанных предположений. В последующих результатах мы опять обозначаем для произвольной ф. p. F.

Теорема 1.6.2. Необходимыми и достаточными условиями принадлежности ф. p. F случайных величин, образующих последовательность н. о. р. с. в. , каждому из трех типов являются (в порядке возрастания сложности):

для всех вещественных х.

В действительности можно показать, что когда имеет место предел типа I, то качестве можно

взять функцию, определяемую соотношением

Доказательства достаточности. Чтобы продемонстрировать простоту доказательства, мы предположим сначала существование в каждом из рассматриваемых случаев такой последовательности (которая может быть взята неубывающей по для которой (Это будет доказано — также весьма просто — ниже). Постоянные будут, конечно, различными для различных типов. Ясно, что для всех достаточно больших п.

Если удовлетворяет критерию для типа II, то, беря вместо мы для каждого получаем

так что из теоремы вытекает, что для

Поскольку (по крайней мере когда велико) и правая часть стремится к нулю при то отсюда также следует, что для что Таким образом, где представитель ф. р. типа II, указанный в теореме Но это можно сформулировать следующим образом:

где так что имеет место предел типа II.

Предел типа III получается весьма похожим способом. Здесь мы обозначаем так что для

и поэтому (заменяя х на для имеем

Использование вновь теоремы сразу показывает, что применим предел типа III с константами в (1.6.1), равными

Предел типа I получается опять по тому же образцу, поскольку (когда удовлетворяет этому критерию), обозначая мы для всех имеем

что приводит (опять посредством теоремы 1.5.1) к пределу типа I с

Мы должны, наконец, доказать существование (неубывающей) последовательности удовлетворяющей условию качестве можем взять любую неубывающую последовательность, для которой

(такую, как последовательность Для такой последовательности так что тривиально Таким образом, остается только показать, что в каждом случае а это, поскольку будет так, если мы покажем, что

Для ф. p. F, удовлетворяющей указанному критерию типа II, левая часть (1.6.2) для не меньше, чем

откуда, устремляя получаем (1.6.2).

Подобная аргументация сохраняется и для ф. p. F, удовлетворяющей критерию типа III. Левая часть (1.6.2) не меньше (для величины

которая стремится к I при что приводит к (1.6.2).

Наконец, для случая типа I левая часть (1.6.2) не меньше (если величины

которая стремится к 1 при так что опять выполняется (1.6.2).

Следствие 1.6.3. Константы в сходимости в каждом из указанных выше случаев могут быть выбраны следующим образом:

где

Доказательство. Эти соотношения получаются в процессе доказательства сформулированной выше теоремы.

Следует, вероятно, отметить, что приведенные выше критерии применимы к любой ф. р. в каждой области притяжения независимо от того, является ли предел конкретным представляющим тип распределением перечисленным в теореме 1.4.1, или любой другой этого типа. Действительно, если предел имеет вид то и также будет пределом при соответствующем изменении нормализующих констант, так как если

то ясно, что