5.4. Независимость максимумов на непересекающихся интервалах

Было бы естественным обобщить теоремы гл. 3 таким образом, чтобы можно было изучать совместное поведение максимумов на непересекающихся интервалах. Мы сделаем сейчас это, показав асимптотическую независимость при надлежащем обобщении условия и затем используя ее для получения результата о пуассоновости превышений нескольких уровней, рассматриваемых совместно. Это в свою очередь приведет к асимптотическим (при совместным распределениям различных величин,

представляющих интерес, таким, как два или более и их положения.

Как и в (2.3.1), рассмотрим уровней удовлетворяющих соотношению

в котором как и в гл. 2, и, следовательно,

Интуитивно ясно, что необходимо обобщить условие с целью включения в него значений Мы сделаем это обобщение следующим образом.

Мы будем говорить, что для стационарной последовательности выполняется условие если для каждого выбора наборов имеем (в очевидных обозначениях)

где Каждое из является любым из чисел некоторой последовательности

Условие очевидным образом обобщает (и, очевидно, влечет выполнение для каждого и будет удобным для нас, хотя в полной мере для наших целей оно и не требуется. Определять обобщение условия нет необходимости, поскольку нам нужно просто, чтобы условие (ивыполнялось отдельно для каждого

Следующий результат обобщает лемму 3.3.2 (с соответствующими изменениями в обозначениях).

Лемма 5.4.1. В принятых обозначениях если выполнено условие фиксированные целые числа и такие подынтервалы интервала что при удалены не менее чем на то

где для каждого значение является любым значением из

Доказательство проводится точно таким же образом, как и в лемме 3.2.2, и поэтому мы не будем повторять здесь детали.

В проводимом далее обсуждении мы рассмотрим фиксированное число таких непересекающихся подынтервалов

интервала что имеет элементов, где фиксированные положительные числа с 1- Несколько усиливая предположения, можно допустить также, что и взять в качестве произвольные конечные непересекающиеся интервалы положительных чисел. Заметим, что интервалы имеют длины, возрастающие с ростом но остаются при этом непересекающимися, и что их суммарное количество фиксировано.

В этих условиях верны следующие результаты. Детали доказательств, дублирующие аргументы, использованные в гл. 3, будут опущены.

Теорема Пусть непересекающиеся подынтервалы интервала определенные выше, так что имеет элементов, где фиксированные положительные числа Предположим, что стационарная последовательность удовлетворяет условию где уровни удовлетворяют (5.4.1). Тогда

при любом выборе для каждого из Для фиксированных пусть непересекающиеся подынтервалы положительных целых чисел где имеет элементов, фиксированные постоянные Пусть для каждого удовлетворяет соотношению пусть фиксированы, и предположим, что условие выполняется для Тогда выполняется (5.4.3).

Доказательство. Пусть обозначает первые элементов остальные элементов этого подынтервала, где выбрано, как в условии отличаются от тех, которые были в гл. 3, но имеют те же обозначения, поскольку играют такую же роль.) Знакомые выкладки показывают, что

где Далее, в силу леммы 5.4.1

и

поскольку возрастает по каждому когда Теперь

что стремится к нулю в силу (5.4.1), поскольку Следовательно, согласно (5.4.4), (5.4.5) и (5.4.6), левая часть (5.4.3) доминируется по абсолютной величине значением » которое стремится к нулю, что и завершает доказательство части (i) теоремы.

Часть (ii) получается аналогичными выкладками, поэтому мы укажем только необходимые их модификации. Во-первых, определяется как начальные элементов подынтервала как оставшиеся его элементов. Если то мы обозначаем Тогда (5.4.4) выполняется с заменой на с заменой, кроме того, на (используем лемму 5.4.1 с вместо Как и выше, получаем отсюда, что

И снова, если то и

так что лемма дает

Обозначая

и используя очевидные неравенства

мы можем аппроксимировать уменьшаемое в (5.4.7), заменяя на Небольшое обобщение соответствующих выкладок в (i) приводит к аналогичной аппроксимации для вычитаемого, откуда вытекает, что (5.4.7) стремится к нулю при замене на так что (5.4.3) выполняется, что и требовалось.

Отметим, что доказательство этой теоремы несколько проще, чем, скажем, доказательства лемм 3.3.1 и 3.3.2. Это связано с тем, что здесь мы предполагаем выполненным условие (5.4.1), тогда как там такого предположения не делалось. Мы могли бы освободиться от условия (5.4.1) и здесь, соответственно усложнив доказательство, но, поскольку в дальнейшем это условие предполагается выполненным, мы используем его и здесь.

Следствие 5.4.3. (i) Если в дополнение к предположениям части (i) теоремы потребовать, чтобы для каждого выполнялось условие то

такое из которое соответствует т. е. такое, что

Если в дополнение к предположениям части теоремы предположить, что выполняется условие то утверждение этой части теоремы остается в силе для этих произвольных положительных постоянных

Доказательство. Часть (i) вытекает из следствия 3.6.4, которое показывает, что

Что касается (ii), то тот же самый предел имеет место в силу теоремы 3.6.3. Действительно (обозначая условие выполняется с но выполняется также и поскольку сделанное предположение приводит к которое в свою очередь (так как влечет за собой в соответствии с леммой 3.6.2 (iv).

Легко проверить, что для нормальных последовательностей выполняется при стандартных условиях на ковариации, так что при этом можно применять следствие 5.4.3.

Теорема 5.4.4. Пусть стационарная нормальная последовательность с нулевыми средними, единичными дисперсиями и ковариационной последовательностью Предположим, что для каждого последовательность удовлетворяет условию и пусть Предположим, что и

для некоторого (в частности, это соотношение выполняется в соответствии с леммой 4.3.2 для любого такого если Тогда выполняется с выполняется при Отсюда вытекает, что если положительные постоянные, для которых

где такие же, как и в теореме такие же, как в следствии 5.4.3.

Доказательство. Используя обозначения из (5.4.2), мы можем отождествить из теоремы 4.2.1 с нашими из этой теоремы с так что имеют то же совместное распределение, что и но не зависят от в свою очередь имеющих то же совместное распределение, что и Следствие 4.2.2 дает тогда

где выбираются из Заменяя на (что меньше при достаточно больших и используя тот факт, что для каждого существует не более членов, содержащих получаем неравенство

правая часть которого стремится к нулю в силу (5.4.8), так что выполняется, как и утверждалось (в действительности а не зависят от I).

Теперь если то для достаточно больших так что (5.4.8) выполняется с заменой на и поэтому лемма показывает, что условие выполнено, что и требовалось.

Наконец, если то выполняется в силу предыдущего утверждения теоремы, поскольку Так как мы уже показали выше, что выполняется с то (5.4.9) вытекает из следствия

Из следствия 5.4.3 вытекает также следующий результат, обобщающий теорему 3.6.6.

Теорема 5.4.5. Пусть стационарная последовательность, константы, и пусть

для некоторой невырожденной ф. р. Предположим, что условия выполняются для всех последовательностей вида непересекающиеся подынтервалы интервала состоит из целых чисел, где фиксированное целое число, Тогда

Доказательство. Результат получается из следствия 5.4.3 аналогично доказательству теоремы 3.6.6 путем отождествления где и аналогично для .