4.3. Теория экстремальных значений для нормальных последовательностей — прямой метод

В этом разделе будет показано, каким образом стандартные результаты об экстремумах стационарных нормальных последовательностей можно получить непосредственно из соответствующей теории для н. о. р. с. в. с использованием (4.2.11). Как отмечалось ранее, эти результаты могут быть просто получены также из общей теории гл. 3 путем проверки выполнения условий методом, который будет использован в следующем разделе. Основные части главного результата содержит

Лемма 4.3.1. Пусть ковариации удовлетворяют условию .

(i) Пусть — такая числовая последовательность, что

Тогда, если то

в том и только в том случае, когда

(ii) Предположим, что для каждого постоянные определяемые соотношением удовлетворяют соотношению (4.3.1), в котором заменяется на Тогда если числовая последовательность, том и только в том случае, когда

Доказательство. Предположим, что (4.3.1) выполнено. Условия следствия 4.2.4 выполняются, так что, согласно (4.3.1) и (4.2.11), тогда и только тогда, когда Но есть просто вероятность того, что максимум из нормальных с. в. не превосходит которая по теореме 1.5.1 сходится к в том и только в том случае, когда что и доказывает (i).

Чтобы доказать (ii), заметим, что из (i) вытекает, что Далее, если то для достаточно больших мы должны иметь так что Поскольку это выполняется для любого отсюда следует, что Обратно, если то, поскольку мы опять должны для достаточно больших иметь так что тогда откуда в силу произвольности выбора вытекает, что

Отметим, что теоремы является другим вариантом в случае Можно легко проверить, что является более сильным результатом, чем (i) при

Следующий результат — это вспомогательная лемма, приведенная в работе Бермана показывающая, что условие на ковариации влечет за собой выполнение (4.3.1), когда таковы, что последовательность ограниченна, так что стремится к бесконечности не слишком медленно. Эту лемму мы используем не только в этом, но и в следующем разделе, при проверке выполнения условий и получении тех же результатов.

Прежде чем сформулировать указанную лемму, отметим легко доказываемый факт, что если ковариация стремится к нулю при то не может равняться единице ни при каком отличном от нуля. (Поскольку, если для некоторого отсюда следует, что с. в. и линейно связаны, так же как а потому таковы же и так что Таким образом мы устанавливаем, что для всех а это противоречит условию Отсюда легко видеть, что в действительности отделена от единицы для всех т. е.

Лемма 4.3.2. Предположим, что (4.1.1) выполнено (т. е. и числовая последовательность такова, что последовательность ограниченна. Тогда выполнено соотношение (4.3.1), а именно

Доказательство. Ясно, что доказывать этот результат технически несколько проще, если в действительности

сходится к некоторому конечному пределу, и мы так и поступим. При этом результат будет верен и в сформулированном в лемме виде, поскольку если определяется соотношением то (4.3.1) выполняется с заменой на Но поскольку очевидно, что отсюда сразу следует, что (4.3.1) выполняется и для и, как и утверждалось.

Итак, предположим, что сходится к конечному пределу, например, Используя (1.5.4), видим, что

Здесь К обозначает число, значение которого может изменяться от одной строки к другой. Как и выше, пусть и пусть а — такое чисто, что

Разобьем сумму в (4.3.1) на две части: первую — для и вторую — для Первая сумма мажорируется величиной

(здесь использованы (4.3.4), (i) и (ii)). Правая часть стремится к нулю, поскольку согласно выбору а. Чтобы заняться второй частью суммы, положим

и заметим, что

Теперь, обозначая получаем для второй части суммы (4.3.1) при больших

согласно Но в силу (4.3.4), (ii)

что стремится к нулю. Таким образом, экспоненциальная составляющая в правой части предыдущего неравенства стремится к единице, а остальное произведение стремится к нулю, что и приводит к искомому результату.

Основные результаты о распределениях для стационарных нормальных последовательностей суммируются в следующей теореме.

Теорема 4.3.3. Пусть (стандартизованная) нормальная последовательность с ковариациями удовлетворяющими условию Тогда

(i) для тогда и только тогда, когда так что имеет место предел типа где константы имеют в точности те же значения, как и в случае н. о. р. с. в., и указываются соотношениями (1.7.2).

Доказательство. Если то лемма 4.3.2 показывает, что выполнено (4.3.1), и поэтому согласно лемме 4.3.1.

Обратно, предположим, что Для любого заданного определим соотношением Тогда по только что доказанному

Выберем сначала Тогда очевидно, что Для достаточно больших так что

Поскольку это выполняется для всех отсюда следует, что Это дает (i) для При обратное неравенство для получается подобным же образом, если взять так что

Итак, утверждение (i) доказано, за исключением случая Но в этом случае оно немедленно вытекает из леммы поскольку, если соотношение (4.3.1) выполняется с заменой на в силу леммы 4.3.2.

Предел типа 1 в (ii) также получается просто. Действительно если где заданы соотношениями (1.7.2), то из теоремы 1.5.3 следует, что где является максимумом стандартных нормальных н. о. р.

случайных величин. Тогда теорема 1.5.1 показывает, что так что силу (i), и очевидная перефразировка приводит к (ii).