1.7. Примеры

Мы приведем несколько примеров распределений, принадлежащих каждой из трех областей притяжения, а затем рассмотрим случаи, в которых не существует невырожденного предельного распределения. Константы будут соответствовать обычной форме (1.1.3), которую мы приведем здесь еще раз для удобства ссылок:

Все примеры в первой группе (1.7.1-1.7.5) относятся к области притяжения типа

Пример 1.7.1 (нормальное распределение). Как показано в теореме 1.5.3, (стандартное) нормальное распределение принадлежит области притяжения типа I с константами

Заметим, что определить принадлежность к области притяжения типа I можно очень просто, используя теорему 1.6.1, хотя она и не дает значений постоянных. В следствии 1.6.3 приведены эти постоянные, но работа по преобразованию их к указанному выше виду мало чем отличается от выкладок теоремы 1.5.3.

Пример 1.7.2 (показательное распределение). В случае показательного распределения с параметром, равным единице, мы имеем

При помощи теоремы 1.6.1 легко убедиться, что здесь область притяжения типа Однако это можно показать и непосредственно (и при этом найти константы). Действительно, если то мы можем выбрать такое что полагая

так что по теореме 1.5.1

Записывая получаем (1.7.1) с

Пример 1.7.3 (предельное распределение экстремальных значений типа I). Как уже было отмечено, каждое предельное распределение экстремальных значений принадлежит его собственной области притяжения (теорема 1.3.1). Константы легко получить, используя свойство -устойчивости. Если то

так что

Полагая

мы получаем для всех

Таким образом, имеет место предел типа I с этими постоянными.

Пример 1.7.4 (монотонное преобразование (логнормальное) нормального распределения). Если монотонно возрастающая функция и то, очевидно,

Если — произвольная последовательность н. о. р. с. в., для которой выполняется (1.7.1), то

так что

В некоторых случаях можно взять разложение функции Тогда линейные члены этого разложения приводят к той же самой ф. p. G для (с измененными константами, например К примеру, если с. в. нормальны, то тогда задаются соотношениями (1.7.2), приведенными

выше. Следовательно, взяв мы получаем логнормальные с. в. и

что дает

Откуда следует (так как что

так что имеет предел типа I с константами

Все приведенные выше примеры, касающиеся типа I, относились к случаям, когда распределения имели бесконечные верхние концевые точки, т. е. Как показывает следующий пример, нетрудно построить такие случаи, в которых распределение первого типа наблюдается и при

Пример 1.7.5 для для

Согласно теореме 1.5.1, если последовательность такова, что

Записывая и беря получаем, что

Отсюда легко находим

что приводит к пределу типа I с

Переходя в следующих примерах к случаям типа II, мы видим прежде всего, что «воспроизвести» такие случаи очень легко, используя критерий теоремы 1.6.2.

Пример 1.7.6 (распределение Парето). Пусть Тогда для каждого когда достаточно велико. Следовательно, в соответствии с теоремой 1.6.2 имеет место предел типа II. Действительно, для имеем так что теорема 1.5.1 дает

Полагая для получаем после подстановки

так что реализуется предел типа II с

Пример 1.7.7 (распределение экстремальных значений типа II). Как и в случае типа I, мы знаем из теоремы 1.3.1, что ф. р. типа II

принадлежит ее собственной области притяжения. Поскольку очевидно, что

для всех и поэтому реализуется предел типа II с

Пример 1.7.8 (распределение Коши). Для стандартного распределения Коши

поэтому

Но, как легко проверить (например, полагая с тем же самым пределом при замене на так что при что показывает, согласно теореме 1.6.2, наличие предела типа II. Константы можно получить просто из следствия 1.6.3: где откуда Следовательно, соответствующие константы равны

Для случаев типа III распределение должно в силу теоремы 1.6.2 иметь конечную верхнюю концевую точку Простейшим таким примером, как мы сейчас увидим, является равномерное распределение.

Пример 1.7.9 (равномерное распределение на Здесь Для мы имеем при так что по теореме 1.5.1

Поэтому для

что указывает на предел типа III с

Равномерное распределение является частным случаем следующего класса распределений, очевидно, имеющего предел типа III.

Пример 1.7.10 (полиномиальный рост в концевой точке). Пусть и

Из теоремы 1.6.2 сразу следует, что здесь мы имеем дело с пределом типа и непосредственно, как в примере 1.7.9 или в силу следствия 1.6.3, что мы можем взять

Поскольку асимптотическое поведение хвоста определяет, какой именно области притяжения принадлежит ф. p. F, то мы можем получать различные предельные типы или даже ни одного из них путем усечения ф. p. F справа независимо от ее формы слева от точки усечения. Это иллюстрируется следующим простым примером.

Пример 1.7.11 (усеченное показательное распределение). Мы видели в примере 1.7.2, что показательное распределение на принадлежит области притяжения типа Если мы произведем усечение этого распределения при конечном значении и обозначим для то из теоремы 1.5.1 легко видеть, полагая для что

а это приводит к пределу типа III с

Пример 1.7.12 (функция распределения экстремальных значений типа III). Здесь

Как и в случаях типов I и принадлежит своей области притяжения. Кроме того, для каждого так что

для всех указывая на предел типа III с

Эти примеры иллюстрируют весь спектр возможностей для предельных распределений. Константы могут, как и ожидалось, принимать положительные, отрицательные или нулевое значения соответственно тем частным случаям, с которыми приходится иметь дело. Можно было бы подумать, что (строго положительные) масштабные константы должны или (всегда) стремиться к единице или (всегда) стремиться к нулю. Интересно, однако, отметить, что могут встречаться оба этих предела, так же как и другие случаи, такие, как в примере 1.7.2, где не зависит от п.

Мы перейдем теперь к рассмотрению случаев, в которых ни при какой линейной нормализации не существует невырожденных предельных распределений для максимума. Как было отмечено в разд. 1.4, такое положение дел конечно имеет место, если общая ф. р. членов н. о. р. последовательности имеет конечную правую концевую точку и скачок в этой точке. Действительно, следствие 1.5.2 показывает, что если в такой ситуации для любой последовательности существует предел то значение равняется либо нулю, либо единице. Может быть, более обычная ситуация, в которой наблюдается такой результат, возникает для некоторых дискретных распределений (таких, как пуассоновское и геометрическое), как мы сейчас в этом убедимся из следующей теоремы.

Теорема 1.7.13. Пусть последовательность н. о. р. с. в., имеющих общую ф. p. F. Тогда если то последовательность удовлетворяющая (1.5.1) (т. е. существует тогда и только тогда, когда

или, что равносильно, тогда и только тогда, когда

где

Отсюда, в силу теоремы 1.5.1, следует, что если то последовательность для которой существует тогда и только тогда, когда выполнено (1.7.3) (или 1.7.4)).

Для или 1 такую последовательность всегда можно найти.

Доказательство. Предположим, что (1.5.1) выполняется для некоторого но что, скажем, не выполнено.

Тогда существуют такие и последовательность что и

Выберем теперь такую целочисленную последовательность чтобы было «близким» к середине скачка ф. p. F в точке т. е. так, чтобы

Ясно, что мы имеем здесь две возможности:

(i) Для бесконечно многих значений ,

(ii) для бесконечно многих значений

Если выполняется случай (i), то тогда для таких

Далее, ясно, что

(здесь использовано (1.7.5)), так что

Поскольку, очевидно, отсюда следует (так как по предположению), что

и поэтому, согласно (1.7.6),

что противоречит (1.5.1). Выкладки с очевидными изменениями для случая для бесконечно многих очень схожи с выкладками для случая (i).

Обратно, предположим, что выполнено (1.7.3), и пусть произвольная последовательность, для которой (например, Отсюда непосредственно получаем неравенства

из которых вытекает (1.5.1), поскольку, очевидно, при

Интересно отметить на основании этой теоремы, что существование последовательности для которой (1.5.1) выполняется при некотором (или такой, что для некоторого влечет за собой существование такой последовательности для каждого такого или р.

Если с. в. принимают целочисленные значения и то (1.7.3) принимает вид при а (1.7.4) есть просто где Если какое-нибудь из этих двух (равносильных) условий нарушено, то отсюда сразу следует невозможность существования невырожденного предела для В частности, как мы сейчас увидим, примерами таких случаев являются пуассоновское и геометрическое распределение.

Пример 1.7.14 (распределение Пуассона). В этом случае для так что

Сумма, стоящая в знаменателе, может быть переписана в виде

(когда и, следовательно, стремится к нулю при так что Теорема 1.7.13 показывает, что предельного распределения здесь не существует и в действительности не существует никакого предела вида отличающегося от или 1, какова бы была последовательность постоянных

Пример 1.7.15 (геометрическое распределение). Здесь

что опять показывает: предел может равняться или 1. Следовательно, и в случае геометрического распределения не существует невырожденного предельного распределения для максимума.

Наконец, еще раз подчеркнем, что существование отличного от нуля и единицы предела последовательности в частности, существование невырожденных предельных распределений) зависит в точности от того, будет или нет для некоторого Если ф. p. F непрерывна, то последовательность с таким свойством можно выбрать (полагая ) для любого заданного и тогда такой предел существует (хотя мы и не обязательно получаем при этом невырожденность предельной ф. р. для при линейной нормализации).

Если ф. p. F не является непрерывной, то существование последовательности, удовлетворяющей соотношению не гарантируется и, более того, оно невозможно, если скачки остаются столь «большими», что не существует такого числа для которого было бы «хорошей аппроксимацией для Более точно, для существования такой -последовательности необходимо и достаточно, чтобы скачки удовлетворяли (1.7.4), а именно при т. е. в случае целочисленных с. в. Для положительных целочисленных с. в. этот факт имеет интересную интерпретацию как сходимость к нулю интенсивности «условных отказов» или «рисков». Действительно, очевидно, является условной вероятностью того, что «период жизни» элемента, дожившего до момента закончится именно в этот момент. Отметим, что интенсивность отказов в счучае геометрического распределения в действительности постоянна и равна а в случае распределения Пуассона сходится к единице.