Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1.7. ПримерыМы приведем несколько примеров распределений, принадлежащих каждой из трех областей притяжения, а затем рассмотрим случаи, в которых не существует невырожденного предельного распределения. Константы
Все примеры в первой группе (1.7.1-1.7.5) относятся к области притяжения типа Пример 1.7.1 (нормальное распределение). Как показано в теореме 1.5.3, (стандартное) нормальное распределение принадлежит области притяжения типа I с константами
Заметим, что определить принадлежность к области притяжения типа I можно очень просто, используя теорему 1.6.1, хотя она и не дает значений постоянных. В следствии 1.6.3 приведены эти постоянные, но работа по преобразованию их к указанному выше виду мало чем отличается от выкладок теоремы 1.5.3. Пример 1.7.2 (показательное распределение). В случае показательного распределения с параметром, равным единице, мы имеем
При помощи теоремы 1.6.1 легко убедиться, что здесь область притяжения типа
так что по теореме 1.5.1
Записывая
Пример 1.7.3 (предельное распределение экстремальных значений типа I). Как уже было отмечено, каждое предельное распределение экстремальных значений принадлежит его собственной области притяжения (теорема 1.3.1). Константы легко получить, используя свойство
так что
Полагая
мы получаем для всех
Таким образом, имеет место предел типа I с этими постоянными. Пример 1.7.4 (монотонное преобразование (логнормальное) нормального распределения). Если
Если
так что
В некоторых случаях можно взять разложение функции выше. Следовательно, взяв
что дает
Откуда следует (так как
так что
Все приведенные выше примеры, касающиеся типа I, относились к случаям, когда распределения имели бесконечные верхние концевые точки, т. е. Пример 1.7.5 Согласно теореме 1.5.1, если последовательность
Записывая
Отсюда легко находим
что приводит к пределу типа I с
Переходя в следующих примерах к случаям типа II, мы видим прежде всего, что «воспроизвести» такие случаи очень легко, используя критерий теоремы 1.6.2. Пример 1.7.6 (распределение Парето). Пусть
Полагая
так что реализуется предел типа II с
Пример 1.7.7 (распределение экстремальных значений типа II). Как и в случае типа I, мы знаем из теоремы 1.3.1, что ф. р. типа II
принадлежит ее собственной области притяжения. Поскольку очевидно, что
для всех
Пример 1.7.8 (распределение Коши). Для стандартного распределения Коши
поэтому
Но, как легко проверить (например, полагая
Для случаев типа III распределение должно в силу теоремы 1.6.2 иметь конечную верхнюю концевую точку Пример 1.7.9 (равномерное распределение на
Поэтому для
что указывает на предел типа III с
Равномерное распределение является частным случаем следующего класса распределений, очевидно, имеющего предел типа III. Пример 1.7.10 (полиномиальный рост в концевой точке). Пусть
Из теоремы 1.6.2 сразу следует, что здесь мы имеем дело с пределом типа
Поскольку асимптотическое поведение хвоста Пример 1.7.11 (усеченное показательное распределение). Мы видели в примере 1.7.2, что показательное распределение на
а это приводит к пределу типа III с
Пример 1.7.12 (функция распределения экстремальных значений типа III). Здесь
Как и в случаях типов I и
для всех
Эти примеры иллюстрируют весь спектр возможностей для предельных распределений. Константы Мы перейдем теперь к рассмотрению случаев, в которых ни при какой линейной нормализации не существует невырожденных предельных распределений для максимума. Как было отмечено в разд. 1.4, такое положение дел конечно имеет место, если общая ф. р. членов н. о. р. последовательности Теорема 1.7.13. Пусть
или, что равносильно, тогда и только тогда, когда
где Отсюда, в силу теоремы 1.5.1, следует, что если Для Доказательство. Предположим, что (1.5.1) выполняется для некоторого Тогда существуют такие
Выберем теперь такую целочисленную последовательность
Ясно, что мы имеем здесь две возможности: (i) (ii) Если выполняется случай (i), то тогда для таких
Далее, ясно, что
(здесь использовано (1.7.5)), так что
Поскольку, очевидно,
и поэтому, согласно (1.7.6),
что противоречит (1.5.1). Выкладки с очевидными изменениями для случая Обратно, предположим, что выполнено (1.7.3), и пусть
из которых вытекает (1.5.1), поскольку, очевидно, Интересно отметить на основании этой теоремы, что существование последовательности Если с. в. Пример 1.7.14 (распределение Пуассона). В этом случае
Сумма, стоящая в знаменателе, может быть переписана в виде
(когда Пример 1.7.15 (геометрическое распределение). Здесь
что опять показывает: предел Наконец, еще раз подчеркнем, что существование отличного от нуля и единицы предела последовательности Если ф. p. F не является непрерывной, то существование
|
1 |
Оглавление
|