Глава 10. Свойства выборочных функций в точках выходов

В предыдущей главе главным объектом нашего внимания были числа и положения выходов за высокие уровни, а также соотношения между выходами за несколько смежных уровней. Например, мы знаем из теоремы 9.3.2 и соотношения (9.2.3), что для стандартного нормального процесса каждый выход за высокий уровень с вероятностью сопровождается выходом и за уровень

асимптотически независимо от всех других выходов за их и

В этой главе мы покажем, что эмпирические распределения значений процесса после выхода его за уровень и сходятся, и представим эти предельные распределения как распределение некоторого модельного процесса. Изучая поведение этого модельного процесса более подробно, мы предпримем затем попытку пролить дополнительный свет на структуру выборочных функций процесса вблизи его выхода за высокий уровень .

10.1. Маркированные выходы

Мы предполагаем, что - стационарный нормальный процесс на всей вещественной прямой с и ковариационной функцией удовлетворяющей соотношению

При несколько более ограничительном предположении о том, что

для некоторого можно предполагать, что имеет непрерывно дифференцируемые выборочные функции (ср. с условием (7.3.2) непрерывности выборочных функций), и мы так и сделаем, поскольку это служит целям иллюстрации. Будем также предполагать на протяжении всей этой главы, что для каждого выбора несовпадающих и отличных от нуля точек распределение с. в. не вырождено. (Достаточным условием для этого является наличие у спектральной функции распределения непрерывной компоненты; см. Крамер и Лидбеттер (1969, разд.

Поскольку число пересечений уровня и в любом ограниченном интервале имеет конечное математическое ожидание, и поэтому оно конечно с вероятностью единица. Пусть

положения выходов процесса за уровень и. Заметим, что при Как и прежде, обозначаем символом точечный процесс выходов, имеющий события в точках

Для того чтобы сохранить информацию вблизи его выходов, сопоставим каждому некоторую метку (марку) В главе 7 каждая метка была просто вещественным числом (например, в разд. 7.6 метками были значения процесса в точках входов под нулевой уровень). Используемые нами теперь метки более абстрактны, и в действительности мы берем в качестве функцию, определяемую соотношением Таким образом, метка есть вся функция сдвинутая назад на расстояние По предположению процесс непрерывно дифференцируем и имеет конечное число выходов в конечных интервалах. Поскольку, кроме того, в любой точке выхода легко видеть, что каждое является случайной величиной. Действительно, если то очевидно, что , так что как предел случайных величин также является с. в. Вообще пусть Это приводит к соотношению следовательно, и также является случайной величиной.

В частности, в то время как для малых значений функция описывает поведение процесса в непосредственной близости от его выхода за уровень и. Конечно, любая из меток, скажем содержит полную информацию обо всех

выходах и всех других метках, так что различные полностью зависимы.

Более того, метки связаны тем требованием, что является первым выходом за уровень и после нуля, вторым выходом и т. д., что предполагает неодинаковое распределение различных меток

Реализация процесса порождает реализацию последовательности меток и именно это будет

Рис. 10.1.1. Точечный процесс выходов для

Рис. 10.1.2. Реализации меток описывающих поведение после выходов за уровень.

действительности наблюдаться на большом интервале времени. Для каждой такой реализации можно сформировать эмпирическое распределение наблюдаемых значений значений процесса через фиксированное время после выходов за уровень и. Ниже мы увидим, что при увеличении интервала наблюдения это эмпирическое распределение сходится, и будем рассматривать этот предел как маргинальное распределение «произвольной» метки в момент Аналогично можно получить совместные распределения «произвольной» метки в моменты и нескольких последовательных меток. Такие распределения являются главным предметом рассмотрения этой главы. В теории точечных процессов подобные объекты называются распределениями Пальма (или мерами Пальма). Они формализуют понятие условного распределения при условии, что точечный процесс имеет точку в определенный момент времени