4.2. Нормальная лемма сравнения

Наша основная задача — показать, что если выполнено (4.1.1), то условия выполняются для подходящих последовательностей Основным инструментом для этой цели служит широко используемый результат, именуемый здесь нормальной леммой сравнения, который ограничивает разность между двумя (стандартизованными) -мерными ф. р. некоторой удобной функцией их ковариаций. Этот результат был получен различными

методами Слепяном (1962), Берманом (1964b, 1971а) и Крамером (см. Крамер и Лидбеттер (1967)). Эта лемма приводится здесь в достаточно общем виде с целью использования ее в последующих главах, хотя здесь было бы достаточно иметь ее простой частный случай.

Теорема 4.2.1 (нормальная лемма сравнения). Предположим, что стандартные нормальные величины, имеющие ковариационную матрицу стандартные нормальные величины, имеющие ковариационную матрицу Пусть вещественные числа. Тогда

где

В частности, если то

для некоторой постоянной К, зависящей только от Кроме того, для

где множитель можно заменить на К, если

Доказательство. Будем предполагать, что матрицы положительно определены (в дополнение к их полуопределенности) и, следовательно, что имеют совместные плотности соответственно. (Случай полуопределенности матриц легко разобрать, рассматривая где независимые нормальные величины, имеющие нулевое среднее,

и затем полагая и используя непрерывность.) Очевидно, что (здесь мы используем обозначение

где функции нормальных плотностей, соответствующие ковариационным матрицам и интегрирование ведется по множествам

Если мы обозначим то матрица положительно определена, все элементы ее главной диагонали равны единице, а остальные ее элементы равны Пусть есть -мерная нормальная плотность, соответствующая и

Левая часть (4.2.1), как легко видеть, равна Далее,

где

Плотность зависит от только через элементы матрицы (если рассматривать как функцию от для Независимо от значения мы имеем в то время как для выполняется соотношение так что Поэтому

Нам пригодится теперь одно полезное свойство многомерной нормальной плотности, состоящее в том, что ее производная по

ковариации совпадает со второй смешанной производной по соответствующим переменным (Крамер и Лидбеттер (1969, с. 33)), т. е.

Таким образом,

Интегрируя по получаем сразу

где обозначает функцию переменных, которая получается из если положить и проинтегрировать по остальным переменным.

Далее, мы можем мажорировать последний интеграл, допуская изменение переменных в пределах от до Но

есть престо двумерная плотность в точке двух стандартных нормальных случайных величин с корреляцией и поэтому ее можно записать в виде

Теперь, поскольку легко показать, что приведенное выше выражение не превышает величины

(Заметим, что правая часть достигает минимума при Отбрасывая все отрицательные составляющие в (4.2.4), получаем, таким образом,

Поскольку это неравенство доказывает (4.2.1).

Утверждение (4.2.2) вытекает сразу из (4.2.1), поскольку а (4.2.3) получаем, используя (4.2.1), меняя ролями и ту и замечая, что и не больше чем

Мы сформулируем теперь несколько очевидных следствий, на которые будем ссылаться в дальнейшем.

Следствие 4.2.2. В обозначениях теоремы пусть Тогда в каждом из неравенств (4.2.1), (4.2.2), (4.2.3) сомножитель можно заменить на В частности, (4.2.2) и (4.2.3) соответственно принимают при этом вид

Доказательство. Эти результаты чаются сразу, поскольку, очевидно,

Следующее следствие показывает, что если ковариации случайных величин мажорируются ковариациями случайных величин то тогда эти стохастически больше чем и максимум из стохастически больше, чем максимум из

Следствие 4.2.3. Пусть стандартные нормальные с. в., причем для каждой пары Тогда любых их,

В частности,

для всех и.

Доказательство. Это вытекает сразу из (4.2.2), поскольку если что и предполагается.

В заключительном следствии формулируются результаты использования независимых с. в.

Следствие 4.2.4. Пусть совместно нормальные (стандартизованные) с. в. с причем Тогда для любого вещественного и любых целых

где корреляция между и некоторая постоянная (зависящая от б).

Если, кроме того, последовательность стационарна и для каждого

В частности, если взять то для любого и

Доказательство. Пусть независимые стандартные нормальные с. в. и для для Тогда (4.2.9) вытекает из (4.2.6), а (4.2.10) является непосредственным следствием (4.2.9).

Отметим, что если правая часть (4.2.10) мала, то (берем события почти независимы для К тому же в силу максимума будет близка к значению которое она имела бы, если с. в. были независимыми, и (4.2.11) дает явную границу для разности этих значений. Обе эти аппроксимации, очевидно, улучшаются при возрастании и. Если разрешить зависимость и от при то предельное поведение можно, таким образом, изучать, используя известные результаты для н. о. р. с. в., и получить распределение типа Это будет описано в следующем разделе. Аналогично явную границу в (4.2.11) можно использовать совместно с какой-либо

имеющейся в распоряжении информацией о скоростях сходимости в случае н. о. р. с. в. для получения такой информации в отношении стационарных последовательностей. Этим мы займемся в разд. 4.6, основываясь на более точном варианте неравенства (4.2.11).