15.3. Области притяжения и экстремумы для смесей распределений

В этом разделе мы обсудим два важных вопроса, связанных с областями притяжения: влияние на распределение экстремальных значений случайного характера изменения параметра исходного распределения и влияние детерминированных составляющих в нестационарном случае.

(кликните для просмотра скана)

Пример 15.3.1. Изменчивость скорости и направления ветра изучалась и документировалась в течение длительного времени и имеет интересную историю. Значительные исследования были проведены Густавом Эйфелем на вершине Эйфелевой башни вскоре после ее сооружения, см. Эйфель (1900). В качестве примера на рис. 15.3.1 (а) показаны скорость и направление ветра в течение дня на вершине башни (верхняя кривая) и на земле (нижняя кривая).

Скорость измерялась как время, которое необходимо ветру для преодоления расстояния в Это означает, что имеется усреднение по интервалу времени, длина которого зависит от текущей скорости ветра. Это усреднение отчасти определяется конструкцией измерительных и регистрирующих приборов и, как отмечал Эйфель, оказывает существенное влияние на наблюдаемые высокие скорости. С целью частичной компенсации этого влияния Эйфель установил дополнительный, более чувствительный анемометр, который включался только когда грубый анемометр показывал значения, превосходящие некоторый предел. На рис. 15.3.1 (а) и (b) показаны примеры записей грубым и более чувствительным анемометрами.

На рис. 15.3.2 показаны эмпирические ф. р. для скорости ветра на вершине башни для двух различных месяцев наблюдений, (а) января и июля, основанные на измерениях, проводившихся с 1890 по 1895 г., и (b) для наблюдений, объединяющих данные по всем двенадцати месяцам года. Поскольку имеются некоторые теоретические доводы в пользу использования при измерениях скорости и случайных направлениях распределения Рэлея, то масштабы выбраны таким образом, чтобы распределение Рэлея представлялось на графиках прямой линией

Как видно, кривые для отдельных месяцев имеют заметную кривизну, в то время как объединенные данные показывают хорошее согласие с распределением Рэлея. Это иногда понималось как указание на то, что скорость ветра следует описывать распределением Рэлея. Как мы увидим, для этого имеется по крайней мере еще одно разумное обоснование.

Горизонтальное перемещение ветра в конкретной точке в момент времени можно представить вектором компонентами которого являются соответственно скорости ветра в направлениях, скажем, север—юг и восток—запад. Результирующая скорость ветра равна тогда

(кликните для просмотра скана)

(и соответствует направлению ветра

Предположим, что и — независимые нормальные процессы со средними и одинаковой ковариационной функцией и дисперсией Если обе компоненты имеют нулевые средние, то

так что имеет распределение Рэлея с плотностью

Если или отлично от нуля, т. е. если существует господствующее направление ветра, то скорость ветра имеет нецентральное распределение Рэлея с параметром и функцией плотности

где модифицированная функция Бесселя первого рода порядка 0; см. Джонсон и Коте (1970, разд. 28.3).

Вследствие указанных соотношений между нормальным и рэлеевским распределениями не удивительно, что последнее использовалось многими авторами в качестве основного при измерении скорости ветра. Тем не менее в приведенном выше примере (пример 15.3.1) распределение Рэлея не очень хорошо согласуется с ежемесячными данными.

Заметим также, что если является рэлеевским процессом с нормальными компонентами, то средние

все еще нормальны, так что

также является рэлеевским процессом, однако наблюдаемое среднее процесса

Таблица 15.3.1 (см. скан)

не является рэлеевским. Свойства распределений для профильтрованных наблюдений скорости ветра изучались Шарпом (1974). Мы перейдем теперь к обсуждению данных об экстремальных скоростях ветра и влияния нестационарности и изменения параметров с течением времени. Оба распределения Рэлея (центральное и нецентральное) принадлежат области притяжения двойного экспоненциального распределения экстремальных значений типа Следует поэтому ожидать, что максимум скорости ветра взятый по интервалу длины на котором выполняются условия стационарности, должен следовать этому распределению, т. е.

для некоторых констант зависящих от длительности измерений и корреляционной структуры процесса.

Пример 15.3.2 (годовой максимум скорости ветра). Таблица 15.3.1 и рис. 15.3.3 показывают наблюдавшиеся годовые максимумы усредненной в интервале скорости ветра в городе Лондоне, провинция Онтарио, за период с 1939 по 1961 г. ( год, единица скорости (Данные взяты из работы Дэвенпорта (1978).) Прямая линия на рисунке изображает функцию распределения двойного экспоненциального распределения, подогнанного Дэвенпортом:

Как было видно в предыдущем примере, распределение экстремальных значений типа I может достаточно хорошо согласовываться с годовыми максимумами ветра в конкретной точке. С другой стороны, в примере 15.3.1 для каждого месяца приходилось подбирать различные распределения, и нет никаких причин полагать, что это будет не так в примере 15.3.2. Существует и много других ситуаций, например при моделировании количества атмосферных осадков, высоты волн и т. п., в которых приходится использовать для различных периодов времени различные модели и допускать изменение параметров с течением времени. Эта изменчивость может рассматриваться или как детерминированная, при которой от одного периода времени к другому повторяются определенные конфигурации, или как случайная функция, имеющая свои собственные свойства в отношении распределений.

Рис. 15.3.3. Эмпирическая ф. р. годового максимума скорости ветра за период 1939-1961 г., нанесенная на двойную экспоненциальную вероятностную бумагу (из Дэвенпорта (1977)).

Первый из этих случаев соответствует рассмотрениям, приводящим к формуле (14.2.5) для прочности материалов, и требует рассмотрения максимума случайных величин, имеющих несовпадающие распределения. Теория для нормальных последовательностей с изменяющимися средними была изложена в гл. 6, и в конце следующего раздела мы приведем соответствующий пример.

Во втором случае, когда изменчивость носит случайный характер, реально сталкиваются с ситуацией, в которой отдельные наблюдения распределены одинаково и следуют некоторой смеси распределений по аналогии с формулой (14.2.6). При этом возникает важный вопрос о том, до какой степени экстремальные наблюдения являются следствием экстремальных значений параметров или экстремальных исходов эксперимента.

Симиу и Филлибен (1976) показали, что двойное экспоненциальное распределение не годится для описания экстремальных скоростей ветров, если климатические условия характеризуются наличием особых типов ветров, таких, как тропические циклоны.

которые значительно сильнее обычных ветров. Они пришли к выводу о том, что в таких случаях знание частоты и характеристик тропических циклонов жизненно важно для надежного прогнозирования сильных ветров. Подобные задачи возникают и при исследовании океана, где частота различных типов погоды используется для смешивания эффектов, вычисленных по коротко-периодическим стационарным ветрам и волновым моделям.

В качестве примера мы более подробно рассмотрим масштабную смесь распределений Рэлея

где случайного параметра масштаба в (15.3.1) (в предположении, что постоянны).

Как легко вытекает из теоремы 1.6.1, каждое условное распределение принадлежит области притяжения распределения экстремальных значений типа I, что означает, что надлежащим образом нормализованные максимумы имеют распределение, близкое к двойному экспоненциальному. Если изменяется как с. в. о, то экстремальные значения для могут появляться за счет больших значений о и вопрос, с которым мы будем иметь дело, связан с областью притяжения для смешанного распределения (15.3.3) при различных смешивающих распределениях В случае типа II имеется следующий простой и удовлетворительный ответ. Масштабная смесь распределений Рэлея принадлежит области притяжения распределения экстремальных значений типа II с параметром а в том и только в том случае, когда то же самое верно для распределения масштаба

Кроме того, если такая последовательность параметров масштаба для что при то является подходящей последовательностью параметров масштаба для и

Мы сейчас докажем это, используя явный вид распределения Рэлея, хотя кажется вероятным, что столь же хорошо работала бы и непосредственная оценка хвоста распределения смеси. Пусть

является функцией распределения для и пусть

— ее преобразование Лапласа, так что

Далее, по теореме принадлежит области притяжения распределения экстремальных значений типа II в том и только в том случае, когда эта функция правильно меняется с показателем а, т. е. если

и поэтому с

Следовательно, правильно меняется в нуле с показателем Согласно тауберовой теореме для преобразований Лапласа (см. Феллер (1968, XIII.5, теорема 3, формула это равносильно тому, что правильно меняется на бесконечности и

Таким образом,

что доказывает эквивалентность областей притяжения.

Далее, тогда и только тогда, когда

Если то (15.3.4), показывает, что

Так что является подходящим выбором параметров масштаба.

Итак, в случае II и правильного убывания на бесконечности, т. е. если и медленно убывает, максимум Мнезависимых с. в. каждая из которых имеет ф. р.

имеет асимптотическое распределение типа II,

В этом случае тип максимума определяется, следовательно, областью притяжения значений параметра.