Обратно, если выполняется (2.5.3), то выполняется и (2.5.1).
В сформулированных утверждениях (2.5.1) можно заменить равносильным условием (2.5.2).
Доказательство. Мы можем записать 
или 
в зависимости от того, будет ли 
или 
Таким образом, 
Из неравенства Берри-Эссена следует, что для некоторой постоянной С
где правая часть стремится к нулю, поскольку 
Отсюда вытекает основной результат, поскольку
тогда и только тогда, когда 
(
и обратная ей функция обе непрерывны).
Наконец, то что из (2.5.1) следует (2.5.2), получаем, записывая
и замечая, что отсюда вытекает 
Аналогично из (2.5.2) следует (2.5.1).
Соответственно теоремам 2.2.1 и 2.2.2 мы имеем, таким образом, следующие результаты.
Теорема 2.5.2. В тех же обозначениях предположим, что 
Если выполняется (2.5.1) или (2.5.2), то
Обратно, если выполняется (2.5.4), то выполняются (2.5.1) и (2.5.2).
Доказательство. Если (2.5.1) выполняется, то оно выполняется и при замене на 
так что по теореме 2.5.1
Следовательно (2.5.4) вытекает из (2.2.1). Обратное следование получаем таким же образом. 
Теорема 2.5.3. Опять при тех же обозначениях предположим, что выполнено (2.5.1) или (2.5.2) с 
для некоторых последовательностей 
Тогда
наибольшему 
из 
когда 
фиксировано. Мы ссылаемся на это как на случай фиксированных рангов (или порядковых статистик экстремумов). Интересно также рассмотреть случаи, когда 
при 
Тогда будем говорить о них как о случае возрастающих рангов. Особый интерес представляют две конкретные скорости роста:
, которую мы будем называть случаем центральных рангов.
, но 
на которую мы будем ссылаться как на случай промежуточных рангов.
удовлетворяющие (1.5.1), т. е. 
В случае когда 
мы найдем, что подходящими ограничениями являются 
и
где 
или в равносильной (как мы увидим) форме:
снова число превышений уровня 
последовательностью 
Если последовательность 
удовлетворяет (2.5.1), то
Обратно, если (2.5.5) выполнено для некоторой невырожденной ф. р. Н, то 
где (2.5.1) и (2.5.2) выполняются с 
