3.5. Сопровождающие независимые последовательности и области притяжения

Для исследования областей притяжения в теореме об экстремальных типах в случае зависимых последовательностей полезно ввести в рассмотрение н. о. р. последовательность имеющую ту же самую общую ф. p. F, которую имеет каждый член стационарной последовательности Последовательность мы будем называть (следуя Лойнесу (1965)) «независимой последовательностью, сопровождающей (independent sequence assodated with ), и будем обозначать

Теорема 3.5.1 является непосредственным следствием теоремы 3.4.1.

Теорема 3.5.1. Пусть для стационарной последовательности выполнены условия Тогда в том и только в том случае, когда То же самое справедливо при если условия заменить требованием о том, чтобы для произвольно большого существовала такая последовательность для которой и выполнены условия

Доказательство. Условие может быть переписано в виде где Согласно теореме 1.5.1, оно выполняется тогда и только тогда, когда По теореме 3.4.1 то же самое верно для так что при искомый результат верен. Если то искомый результат получаем подобным же образом, используя следствие 3.4.2.

Мы можем также сразу заключить, что предельное распределение для в точности такое же, как и то предельное распределение, которое получалось бы при условии, что - н. о. р. с. в., т. е. что оно совпадает с распределением при условиях Часть этого результата была доказана Лойнесом (1965) при условиях, включающих сильное перемешивание.

Теорема 3.5.2. Предположим, что условия выполняются для некоторой стационарной последовательности когда для каждого заданные числовые последовательности). Тогда для того, чтобы соотношение выполнялось для некоторой невырожденной необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. Если то равносильность вытекает из теоремы 3.5.1 с

Если то непрерывность ф. p. G (обязательно являющейся распределением экстремальных значений) показывает, что если то существует такое что Условия выполняются для или в зависимости от сделанного предположения. Следовательно, либо теорема 3.4.1, либо теорема 1.5.1 показывает, что Поэтому случай вытекает из второго утверждения теоремы 3.5.1, где берется

Заметим, что случай может быть получен и по-другому из путем использования непрерывности ф. p. G в ее левой концевой точке, конечной в этом случае. Однако приведенное выше доказательство, использующее предшествующие результаты для представляется естественным и поучительным.

Ввиду этого результата для определения областей притяжения при условиях можно было бы использовать те же самые критерии, что и в классическом н. о. р. случае. Более того, для нормализации можно использовать те же самые константы как если бы последовательность была н. о. р. Это будет проиллюстрировано для нормальных последовательностей в следующей главе, где мы проверяем выполнение условий