6.5. Пределы для превышений и максимумов в случае ...

В этом разделе мы исследуем предельное поведение точечного процесса превышений уровня в случае, когда выполняется условие (6.4.1) с качестве следствия получим асимптотическое распределение максимума. Напомним сначала, что в гл. 5 мы обозначили символом точечный процесс превышений уровня процессом где определяется для стационарной последовательности соотношением

Далее, пусть процесс Кокса (см приложение) со (случайной) интенсивностью где стандартная нормальная случайная величина, т. е. имеет распределение, определяемое соотношением

для непересекающихся борелевских множеств на обозначает меру Лебега множества В).

Теорема 6.5.1. Предположим, что стационарная нормальная последовательность с ковариациями и что где

Если то точечный процесс нормированных моментов превышений уровня сходится по распределению к точечному процессу на где процесс Кокса, определяемый посредством (6.5.1).

Доказательство. Здесь снова нужно проверить выполнение условий (а) и (b) теоремы П. 1. Как и в доказательстве теоремы так что, поскольку

первое условие (а) сразу вытекает отсюда.

Используем теперь обозначение и пусть максимум случайных величин с номерами в нормальной последовательности, имеющей постоянную ковариацию между любыми ее членами. Если положить то, как указывалось в разделе 6.4, случайные величины имеют то же самое распределение, что и случайные величины где все независимы и С — стандартная нормальная с. в. Имеем

и из следствия 4.2.2 и леммы 6.4.1 легко вытекает, что для

при Поэтому, чтобы доказать выполнение условия (b) теоремы достаточно убедиться в том, что

Но

поэтому, используя выражения получаем

Из следствия 5.2.2 вытекает, что для фиксированного

По теореме о доминируемой сходимости отсюда следует, что

т. е. выполняется (6.5.2).

Следствие 6.5.2. Предположим, что выполнены условия теоремы 6.5.1 и что непересекающиеся борелевские множества на границы которых имеют нулевую меру Лебега. Тогда сходится к правой части (6.5.1). В частности, при

Из этого результата мы видим (как отмечалось в разд. 6.4), что асимптотическое распределение максимума теперь уже является сверткой распределения типа I с нормальным распределением

но здесь все еще возможно использовать «классические» нормализующие постоянные. Можно также отметить, что указанные результаты можно непосредственно обобщить на случай пересечений двух или более последовательных уровней. Однако, чтобы избежать повторений, мы опустим детали.