24.2. Двумерная риманова геометрия

Пусть двумерное риманово многообразие. Мы опишем римановы геодезические, связность Леви-Чивита и параллельный перенос на

Пусть риманова структура и ортонормированный репер на

24.2.1. Римановы геодезические.

Для произвольных точек будем искать кратчайшую кривую в соединяющую

Так же, как в параграфе 19.1, из принципа максимума легко следует, что параметризованные длиной дуги экстремальные траектории в этой задаче (римановы геодезические) являются проекциями траекторий нормального гамильтонова поля:

Поверхность уровня есть сферические расслоение над со слоем

параметризованным углом

Кокасательное расслоение риманова многообразия отождествляется с касательным расслоением благодаря римановой структуре:

Тогда отождествляется со сферическим расслоением

единичных касательных векторов к После этого отождествления можно рассматривать как геодезический поток на

24.2.2. Связность Леви-Чивита.

Связностью на сферическом расслоении называется произвольное горизонтальное распределение

Любая связность на задает параллельный перенос единичных касательных векторов вдоль кривых на Пусть есть кривая в и пусть есть единичный касательный вектор. Кривая имеет единственный горизонтальный лифт на с началом в

Действительно, если кривая удовлетворяет неавтономному дифференциальному уравнению

то его горизонтальный лифт есть решение поднятого уравнения

где — горизонтальные лифты базисных полей

Заметим, что решения уравнения (24.3) продолжаются на весь временной отрезок так как слои компактны. Вектор есть параллельный перенос вектора вдоль кривой

Векторное поле вдоль кривой называется параллельным, если оно сохраняется параллельными переносами вдоль

Связность Леви-Чивита есть единственная связность на сферическом расслоении удовлетворяющая свойствам:

1) скорость любой римановой геодезической параллельна вдоль геодезической (т.е. геодезическое поле горизонтально);

2) параллельные переносы сохраняют угол, т. е. горизонтальные лифты векторных полей на базе коммутируют с векторным , определяющим элемент длины (или, что эквивалентно,

Вычислим связность Леви-Чивита как горизонтальное распределение на В гл. 23 был построен инвариантный относительно обратной связи репер на многообразии

Можно показать, что

где структурные константы ортонормированного репера на

Действительно, составляющая поля в касательном пространстве многообразия равна Чтобы найти составляющую поля в слое, вычислим производные двумя разными способами:

Аналогично,

поэтому

Следовательно,

и равенство (24.4) доказано. Отсюда равенство (24.5) получается непосредственным дифференцированием.

Заметим, что с помощью разложений (24.4), (24.5) можно легко вычислить гауссову кривизну к риманова многообразия по формуле теоремы 23.1:

Так как

получаем

Свойства 1) и 2) горизонтального распределения на К, задающего связность Леви-Чивита, означают, что поэтому

Так как

получаем

-форма связности

имеет вид

где двойственный корепер к