Глава 5. ТЕОРЕМА ОБ ОРБИТЕ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

5.1. Формулировка теоремы об орбите

Пусть любое множество гладких векторных полей. Для упрощения формулировок будем предполагать, что все поля в полны. Впрочем, все определения и результаты, приводимые ниже, легко обобщаются на случай неполных полей (оставляем эти обобщения читателю в виде упражнения).

Мы возвращаемся к изучению множеств достижимости: исследуем структуру множеств достижимости системы с помощью кусочно постоянных управлений

Но сначала рассмотрим большее множество — орбиту семейства из некоторой точки

В орбите можно двигаться вдоль векторных полей как вперед, так и назад, в то время как во множестве достижимости возможно только движение вперед (рис. 5.1, 5.2).

Рис. 5.1. Множество достижимости Лап

Рис. 5.2. Орбита

Впрочем, если семейство симметрично: (т. е. то множества достижимости совпадают с орбитами:

Вообще говоря, орбиты имеют более простую структуру, чем множества достижимости. Она описывается в следующем важнейшем предложении.

Теорема 5.1 (теорема об орбите, Нагано-Суссманн). Пусть семейство векторных полей и точка в Тогда:

1) орбита есть связное погруженное подмногообразие многообразия

Здесь мы обозначаем через V группу диффеоморфизмов многообразия порожденную потоками полей из

Мы определим и обсудим понятие погруженного многообразия в следующем параграфе.